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Abbildungsmatrix: Korrektur und Ideen
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:51 Mi 29.01.2020
Autor: Olli1968

Aufgabe 1
Wir betrachten die Matrix [mm] A=\pmat{ a & b \\ c & d } \in Mat(2 \times 2,\IQ)[/mm]. Diese Matrix A definiert eine lineare Abbildung [mm] \phi_{A}:Mat(2 \times 2,\IQ) \to Mat(2 \times 2,\IQ)[/mm] durch [mm] \phi_{A}(B)=A \cdot B[/mm]

(i) Geben Sie die Abbildungsmatrix von [mm] \phi_{A} [/mm] bezüglich der Basis [mm] B=(E_{1}= \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0}, E_{2}=\pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0}, E_{3}=\pmat{ 0 & 0 \\ 1 & 0}, E_{4}=\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 1}) [/mm] von [mm] Mat(2 \times 2, \IQ) [/mm] an.

Aufgabe 2
(ii) Berechnen Sie die Determinante von [mm] \phi_{A} [/mm]

Aufgabe 3
(iii) Berechnen Sie die Determinante von [mm] \phi_{A} [/mm] als Funktion von det(A).

Aufgabe 4
(iv) Beweisen Sie [mm] \phi_{A} [/mm] ist ein Isomorphismus [mm] \gdw [/mm] det(A) [mm] \not= 0 [/mm].

Hallo liebe Mathefreunde.
Ich habe diese Aufgaben in keinem anderen Forum gepostet.

Mit dieser Aufgabe kam ich einfach nicht richtig zurecht.
Zu (i) habe ich folgende Gedanken gehabt.

[mm] \phi_{A}( {\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 })= \pmat{ a & b \\ c & d}\cdot\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0}= \pmat{ a & 0 \\ c & 0}=a \cdot E_{1}+0 \cdot E_{2}+c \cdot E_{3}+0 \cdot E_{4}[/mm]

[mm] \phi_{A}( \pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 })= \pmat{ a & b \\ c & d}\cdot\pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0}= \pmat{ 0 & a \\ 0 & c}=0 \cdot E_{1}+a \cdot E_{2}+0 \cdot E_{3}+c \cdot E_{4}[/mm]

[mm] \phi_{A}( \pmat{ 0 & 0 \\ 1 & 0 })= \pmat{ a & b \\ c & d}\cdot\pmat{ 0 & 0 \\ 1 & 0}= \pmat{ b & 0 \\ d & 0}=b \cdot E_{1}+0 \cdot E_{2}+d \cdot E_{3}+0 \cdot E_{4}[/mm]

[mm] \phi_{A}( \pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 1 })= \pmat{ a & b \\ c & d}\cdot\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 1}= \pmat{ 0 & b \\ 0 & d}=0 \cdot E_{1}+b \cdot E_{2}+0 \cdot E_{3}+d \cdot E_{4}[/mm]

Somit lautet die Abbildungsmatrix [mm] M_{B}^{B}(\phi_{A})=\pmat{a & 0 & b & 0 \\ 0 & a & 0 & b \\ c & 0 & d & 0 \\ 0 & c & 0 & d } [/mm]

Zu (ii)
[mm] det(\phi_{A})=det(M_{B}^{B}(\phi_{A}))=(ad-bc)^2=(det(A))^2 [/mm]. (mit dem Laplace-Entwicklungssatz)

zu (iii)  fehlen mir die Ideen, da ich zugeben muss, dass ich die Aufgabestellung auch nicht richtig verstehe. Die Determinante ist die Abbildung: [mm] det: Mat(2 \times 2, \IQ) \to \IQ [/mm] und wir sollen nun [mm] det(\phi_{A}) = (det(A))^2 [/mm] berechnen als Funktion von det(A) ?! und dass heißt nun?

zu (iv)
Meine Idee war hier, das, wenn [mm] \phi_{A}[/mm] ein iso ist [mm] \Rightarrow [/mm] das die Matrix A regulär sein muss, also vollen Rang besitzt. D. h., da A eine quadratiche Matrix ist, dass [mm] det(A) \not= 0 [/mm] ist.


Vielen Dank für eure Hilfe.

        
Bezug
Abbildungsmatrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 05:00 Do 30.01.2020
Autor: fred97


> Wir betrachten die Matrix [mm]A=\pmat{ a & b \\ c & d } \in Mat(2 \times 2,\IQ)[/mm].
> Diese Matrix A definiert eine lineare Abbildung
> [mm]\phi_{A}:Mat(2 \times 2,\IQ) \to Mat(2 \times 2,\IQ)[/mm] durch
> [mm]\phi_{A}(B)=A \cdot B[/mm]
>  
> (i) Geben Sie die Abbildungsmatrix von [mm]\phi_{A}[/mm] bezüglich
> der Basis [mm]B=(E_{1}= \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0}, E_{2}=\pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0}, E_{3}=\pmat{ 0 & 0 \\ 1 & 0}, E_{4}=\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 1})[/mm]
> von [mm]Mat(2 \times 2, \IQ)[/mm] an.
>  (ii) Berechnen Sie die Determinante von [mm]\phi_{A}[/mm]
>  (iii) Berechnen Sie die Determinante von [mm]\phi_{A}[/mm] als
> Funktion von det(A).
>  (iv) Beweisen Sie [mm]\phi_{A}[/mm] ist ein Isomorphismus [mm]\gdw[/mm]
> det(A) [mm]\not= 0 [/mm].
>  Hallo liebe Mathefreunde.
>  Ich habe diese Aufgaben in keinem anderen Forum gepostet.
>  
> Mit dieser Aufgabe kam ich einfach nicht richtig zurecht.
> Zu (i) habe ich folgende Gedanken gehabt.
>
> [mm]\phi_{A}( {\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 })= \pmat{ a & b \\ c & d}\cdot\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0}= \pmat{ a & 0 \\ c & 0}=a \cdot E_{1}+0 \cdot E_{2}+c \cdot E_{3}+0 \cdot E_{4}[/mm]
>  
> [mm]\phi_{A}( \pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 })= \pmat{ a & b \\ c & d}\cdot\pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0}= \pmat{ 0 & a \\ 0 & c}=0 \cdot E_{1}+a \cdot E_{2}+0 \cdot E_{3}+c \cdot E_{4}[/mm]
>  
> [mm]\phi_{A}( \pmat{ 0 & 0 \\ 1 & 0 })= \pmat{ a & b \\ c & d}\cdot\pmat{ 0 & 0 \\ 1 & 0}= \pmat{ b & 0 \\ d & 0}=b \cdot E_{1}+0 \cdot E_{2}+d \cdot E_{3}+0 \cdot E_{4}[/mm]
>  
> [mm]\phi_{A}( \pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 1 })= \pmat{ a & b \\ c & d}\cdot\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 1}= \pmat{ 0 & b \\ 0 & d}=0 \cdot E_{1}+b \cdot E_{2}+0 \cdot E_{3}+d \cdot E_{4}[/mm]
>  
> Somit lautet die Abbildungsmatrix
> [mm]M_{B}^{B}(\phi_{A})=\pmat{a & 0 & b & 0 \\ 0 & a & 0 & b \\ c & 0 & d & 0 \\ 0 & c & 0 & d }[/mm]


Das ist OK


>  
> Zu (ii)
>  
> [mm]det(\phi_{A})=det(M_{B}^{B}(\phi_{A}))=(ad-bc)^2=(det(A))^2 [/mm].
> (mit dem Laplace-Entwicklungssatz)
>  


Auch das ist  OK


> zu (iii)  fehlen mir die Ideen, da ich zugeben muss, dass
> ich die Aufgabestellung auch nicht richtig verstehe. Die
> Determinante ist die Abbildung: [mm]det: Mat(2 \times 2, \IQ) \to \IQ[/mm]
> und wir sollen nun [mm]det(\phi_{A}) = (det(A))^2[/mm] berechnen als
> Funktion von det(A) ?! und dass heißt nun?

Das Quadrat der  Determinante ist  eine Funktion  der Determinante.  Was  der Aufgabensteller noch  will,  ist mir nicht klar.  Du  hast jedenfalls alles  richtig  gemacht.



>  
> zu (iv)
>  Meine Idee war hier, das, wenn [mm]\phi_{A}[/mm] ein iso ist
> [mm]\Rightarrow[/mm] das die Matrix A regulär sein muss, also
> vollen Rang besitzt. D. h., da A eine quadratiche Matrix
> ist, dass [mm]det(A) \not= 0[/mm] ist.

Auch  hier ist alles bestens.  [mm] \phi_A [/mm]  ist genau  dann ein Isomorphismus,  wenn  det (A) [mm] \ne [/mm] 0 ist.

>  
>
> Vielen Dank für eure Hilfe.


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