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| Aufgabe | Gegeben sei eine lineare Abbildung $f$ : [mm] \IR^5 \to \IR^4 [/mm] mit der folgenden Abbildungsmatrix bzgl. der Einheitsbasis E:
[mm] M_E(f) [/mm] = [mm] \pmat{ -2 & 0 & 0 & 0 & -2 \\ 0 & 1 & -2 & 0 & 0 \\ -2 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & -2 & 1 & 3}
[/mm]
a) Bestimmen Sie invertierbare Matrizen S und T , so dass
$M^'$ = S * [mm] M_E(f) [/mm] * [mm] T^{- 1} [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & 0 & & \cdots & & 0 \\ 0 & \ddots & & & & &\\ & & 1 & \ddots & & \vdots \\ \vdots & & \ddots & 0 & & \\ & & & & \ddots & 0 \\ 0 & & \cdots & & 0 & 0}
[/mm]
b) Geben Sie zwei Basen A, B an, so dass die Abbildungsmatrix [mm] M^A_B(f) [/mm] gerade $M^'$ entspricht.
c) Lesen Sie aus b) den Kern und das Bild von f ab (mit Begründung). |
Hallo!
Leider habe ich keine Ahnung, wie ich an diese Aufgabe rangehen soll...
Unser Mathetutor meinte, wenn wir diese Aufgabe lösen können, dann haben wir das Thema Basiswechsel und Koordinatentransformation verstanden, d.h. dann wohl, das ichs absolut nicht verstanden habe.^^
Ich wäre für einen Tipp, wie ich hier ran gehen soll, sehr dankbar.
Grüße
WhiteKalia
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> Gegeben sei eine lineare Abbildung [mm]f[/mm] : [mm]\IR^5 \to \IR^4[/mm] mit
> der folgenden Abbildungsmatrix bzgl. der Einheitsbasis E:
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> [mm]M_E(f)[/mm] = [mm]\pmat{ -2 & 0 & 0 & 0 & -2 \\ 0 & 1 & -2 & 0 & 0 \\ -2 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & -2 & 1 & 3}[/mm]
>
> a) Bestimmen Sie invertierbare Matrizen S und T , so dass
>
> [mm]M^'[/mm] = S * [mm]M_E(f)[/mm] * [mm]T^{- 1}[/mm] = [mm]\pmat{ 1 & 0 & & \cdots & & 0 \\ 0 & \ddots & & & & &\\ & & 1 & \ddots & & \vdots \\ \vdots & & \ddots & 0 & & \\ & & & & \ddots & 0 \\ 0 & & \cdots & & 0 & 0}[/mm]
Deine Formel kann man auch so schreiben [mm] A'=SAT^{-1}.
[/mm]
>
> b) Geben Sie zwei Basen A, B an, so dass die
> Abbildungsmatrix [mm]M^A_B(f)[/mm] gerade [mm]M^'[/mm] entspricht.
>
> c) Lesen Sie aus b) den Kern und das Bild von f ab (mit
> Begründung).
in deinem Beispiel geht es um einfache Basentransformation. Am besten liest du dir in eurem lineare Algebra Skript das Thema "Umrechnung der Matrixdarstellung bei Basiswechsel" durch.
Ein solches Beispiel würde ich am besten so lösen:
Als erstes errechnest du dir die Transformationsmatrix T des Basiswechsels von B zu B', anschließend die Inverse [mm] T^{-1}.
[/mm]
die Transformationsmatrix S zum Basiswechsel von C zu C' errechnest du anschließend. deine Matrix A' hast du ja gegeben ;)
Das komplizierteste ist wahrscheinlich das errechnen der Transformationsmatrizen.
LG Scherzkrapferl
ps: Falls ich etwas falsches geschrieben habe, bitte um Korrektur.
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> Ein solches Beispiel würde ich am besten so lösen:
> Als erstes errechnest du dir die Transformationsmatrix T
> des Basiswechsels von B zu B',
Die Basis B wären dann die Einheitsvektoren
B = ( [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0}, \vektor{0 \\ 1 \\ 0 \\ 0}, \vektor{0 \\ 0 \\ 1 \\ 0}, \vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 1} [/mm] )
oder?
Was wäre dann B'? Wäre das dann die Basis, die man erhält, wenn man [mm] M_E(f) [/mm] mit dem Gaußverfahren soweit "minimiert" bis man linear unabhängige Vektoren erhält? Also quasie die Basis von [mm] M_E(f) [/mm] direkt errechnet?
Danke schonmal für die Hilfe und die Geduld.^^
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> > Ein solches Beispiel würde ich am besten so lösen:
> > Als erstes errechnest du dir die Transformationsmatrix
> T
> > des Basiswechsels von B zu B',
>
> Die Basis B wären dann die Einheitsvektoren
> B = ( [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0}, \vektor{0 \\ 1 \\ 0 \\ 0}, \vektor{0 \\ 0 \\ 1 \\ 0}, \vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 1}[/mm]
> )
> oder?
"Gegeben sei eine lineare Abbildung $ f $ : $ [mm] \IR^5 \to \IR^4 [/mm] $ mit der folgenden Abbildungsmatrix bzgl. der Einheitsbasis E: " - steht ja schon in deiner Angabe.
> Was wäre dann B'? Wäre das dann die Basis, die man
> erhält, wenn man [mm]M_E(f)[/mm] mit dem Gaußverfahren soweit
> "minimiert" bis man linear unabhängige Vektoren erhält?
> Also quasie die Basis von [mm]M_E(f)[/mm] direkt errechnet?
>
> Danke schonmal für die Hilfe und die Geduld.^^
hab's zwar nicht nachgerechnet aba das könnte stimmen ^^
LG Scherzkrapferl
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