Abbildungsmatrix einer < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:39 Mi 16.09.2009 | | Autor: | stowoda |
| Aufgabe | Seien [mm] \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} [/mm] beliebige Vektoren aus [mm] \IR^3, e_1,e_2 [/mm] die ersten beiden Einheitsvektoren aus [mm] \IR^3. [/mm]
Betrachte die Abbildung [mm] $\overrightarrow{f}_{\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}} [/mm] = [mm] (\overrightarrow{a}*\overrightarrow{x})e_1 +(\overrightarrow{b}*\overrightarrow{x})e_2, [/mm] für [mm] \overrightarrow{x} \in \IR^3.$
[/mm]
a) Gebe [mm] M^e_e(\overrightarrow{f}) [/mm] an. |
Hallo,
ich habe Probleme bei der Darstellung der Abbildung..
Wie sieht die implizite Darstellung aus?
Etwa so? :
[mm] $\overrightarrow{f}_{\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}}(\overrightarrow{x}) =\vektor{a_x \\ a_y \\a_z}*\vektor{x \\ y \\ z}*\vektor{1 \\0 \\ 0}+\vektor{b_x \\ b_y \\b_z}*\vektor{x \\ y \\ z}*\vektor{0 \\1\\ 0} [/mm] = [mm] \vektor{a_x*x + a_y*y +a_z*z \\ 0 \\0}+\vektor{0\\ b_x*x + b_y*y +b_z*z \\0}=\vektor{a_x*x + a_y*y +a_z*z\\ b_x*x + b_y*y +b_z*z \\0}
[/mm]
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> Seien [mm]\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}[/mm] beliebige
> Vektoren aus [mm]\IR^3, e_1,e_2[/mm] die ersten beiden
> Einheitsvektoren aus [mm]\IR^3.[/mm]
> Betrachte die Abbildung
> [mm]\overrightarrow{f}_{\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}} = (\overrightarrow{a}*\overrightarrow{x})e_1 +(\overrightarrow{b}*\overrightarrow{x})e_2, für \overrightarrow{x} \in \IR^3.[/mm]
>
> a) Gebe [mm]M^e_e(\overrightarrow{f})[/mm] an.
> Hallo,
>
> ich habe Probleme bei der Darstellung der Abbildung..
> Wie sieht die implizite Darstellung aus?
>
> Etwa so? :
>
> [mm]$\overrightarrow{f}_{\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}}(\overrightarrow{x}) =[\vektor{a_x \\ a_y \\a_z}*\vektor{x \\ y \\ z}]*\vektor{1 \\0 \\ 0}+[\vektor{b_x \\ b_y \\b_z}*\vektor{x \\ y \\ z}]*\vektor{0 \\1\\ 0}[/mm]
> = [mm]\vektor{a_x*x + a_y*y +a_z*z \\ 0 \\0}+\vektor{0\\ b_x*x + b_y*y +b_z*z \\0}=\vektor{a_x*x + a_y*y +a_z*z\\ b_x*x + b_y*y +b_z*z \\0}[/mm]
Hallo,
ja, das ist richtig so.
Eine implizite Darstellung ist das allerdings nicht.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:10 Mi 16.09.2009 | | Autor: | stowoda |
Ahja, die Klammern. Danke.
Wieso das keine implizite Darstellung ist will ich mir mal nicht den Kopf zerbrechen, obwohl es mich doch interessieren würde..
Auf dieses Ergebnis komme ich:
[mm] $M^e_e(\overrightarrow{f})=\pmat{ a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ 0 & 0 & 0}
[/mm]
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> Ahja, die Klammern. Danke.
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> Wieso das keine implizite Darstellung ist will ich mir mal
> nicht den Kopf zerbrechen, obwohl es mich doch
> interessieren würde..
Hallo,
guck z.B. ![[]](/images/popup.gif) da.
>
> Auf dieses Ergebnis komme ich:
>
> [mm]$M^e_e(\overrightarrow{f})=\pmat{ a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ 0 & 0 & 0}[/mm]
Ja, genau.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:42 Do 17.09.2009 | | Autor: | stowoda |
Danke :)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:58 Do 17.09.2009 | | Autor: | stowoda |
| Aufgabe | [mm] a=(\overrightarrow{a}_1,\overrightarrow{a}_2,\overrightarrow{a}_3) [/mm]
mit: [mm] \overrightarrow{a}^T_1=(1,1,0), \overrightarrow{a}^T_2=(1,0,1),\overrightarrow{a}^T_3=(0,1,1)
[/mm]
Es sei [mm] \overrightarrow{f} [/mm] eine lineare Abbildung [mm] \IR^3\to\IR^3 [/mm] mit [mm] \overrightarrow{f}(\overrightarrow{a}_1)=2\overrightarrow{a}_1,\overrightarrow{f}(\overrightarrow{a}_2)=3\overrightarrow{a}_2,\overrightarrow{f}(\overrightarrow{a}_3)=-4\overrightarrow{a}_3
[/mm]
Gebe [mm] M^a_a(\overrightarrow{f}) [/mm] an |
Hallo, da es sich um die selbe Thematik handelt, fand ich es schade ein neues Thema zu eröffnen. Daher hänge ich es hier an.
Bekanntlich, stehen in den Zeilen der Abbildungsmatrix [mm] M^a_b [/mm] die Bilder [mm] \overrightarrow{f}(a) [/mm] .. der Basisvektoren von a [mm] =(a_1,a_2,a_3), [/mm] als Linearkombination der Basis [mm] b=(b_1,b_2,b_3).
[/mm]
Gilt dann für [mm] M^a_a(\overrightarrow{f}), [/mm] b = a und aus dem oben genannten allgemeinen Fall wird ein Spezialfall für den beide Basen gleich sind? (Ist das Wort Isomorphismus hier angebracht?)
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> [mm]a=(\overrightarrow{a}_1,\overrightarrow{a}_2,\overrightarrow{a}_3)[/mm]
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> mit: [mm]\overrightarrow{a}^T_1=(1,1,0), \overrightarrow{a}^T_2=(1,0,1),\overrightarrow{a}^T_3=(0,1,1)[/mm]
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> Es sei [mm]\overrightarrow{f}[/mm] eine lineare Abbildung
> [mm]\IR^3\to\IR^3[/mm] mit
> [mm]\overrightarrow{f}(\overrightarrow{a}_1)=2\overrightarrow{a}_1,\overrightarrow{f}(\overrightarrow{a}_2)=3\overrightarrow{a}_2,\overrightarrow{f}(\overrightarrow{a}_3)=-4\overrightarrow{a}_3[/mm]
>
> Gebe [mm]M^a_a(\overrightarrow{f})[/mm] an
> Hallo, da es sich um die selbe Thematik handelt, fand ich
> es schade ein neues Thema zu eröffnen. Daher hänge ich es
> hier an.
>
> Bekanntlich, stehen in den Zeilen der Abbildungsmatrix
> [mm]M^a_b[/mm] die Bilder [mm]\overrightarrow{f}(a)[/mm] .. der Basisvektoren
> von a [mm]=(a_1,a_2,a_3),[/mm] als Linearkombination der Basis
> [mm]b=(b_1,b_2,b_3).[/mm]
Genau. Bekanntlich ist das so.
>
> Gilt dann für [mm]M^a_a(\overrightarrow{f}),[/mm] b = a und aus dem
> oben genannten allgemeinen Fall wird ein Spezialfall für
> den beide Basen gleich sind?
Ja.
> (Ist das Wort Isomorphismus
> hier angebracht?)
Kommt drauf an, wie Du es zu verwenden gedenkst. Daraus, daß Du f bezüglich zweier gleicher Basen darstellst, kannst Du jedenfalls nicht darauf schließen, daß f ein Isomorphismus ist.
(Hier ist's aber trotzdem einer:
die darstellende Matrix ist quadratisch und hat vollen Rang.
Die Basen spielen hierfür aber keine Rolle. Wählst Du andere Basen, dann bleibt die Abbildung trotzdem ein Isomorphismus. Es andert sich ja nicht die Abbildung, sondern lediglich ihre Darstellung.
Und nochwas: nichtquadratische Matrizen können keinen Isomorphismus darstellen.)
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:27 Do 17.09.2009 | | Autor: | stowoda |
Ok, vielen Dank.
[mm] M^a_a(\overrightarrow{f}) [/mm] :
Ich stelle also die BIlder der Basisvektoren der Basis a, als Lin.Komb der Basis a dar:
[mm] x_1*\vektor{1 \\ 1\\0}+y_1*\vektor{1 \\ 0\\1}+z_1*\vektor{0 \\ 1\\1}=\vektor{2 \\ 2\\0}
[/mm]
[mm] \vektor{x_1 \\ y_1\\z_1}=\vektor{1 \\ 0\\0}
[/mm]
[mm] x_2*\vektor{1 \\ 1\\0}+y_2*\vektor{1 \\ 0\\1}+z_2*\vektor{0 \\ 1\\1}=\vektor{3 \\ 0\\3}
[/mm]
[mm] \vektor{x_2 \\ y_2\\z_2}=\vektor{0 \\ 3\\0}
[/mm]
[mm] x_3*\vektor{1 \\ 1\\0}+y_3*\vektor{1 \\ 0\\1}+z_3*\vektor{0 \\ 1\\1}=\vektor{0 \\ -4\\-4}
[/mm]
[mm] \vektor{x_3 \\ y_3\\z_3}=\vektor{0 \\ 0\\-4}
[/mm]
Dann wäre [mm] $M^a_a(\overrightarrow{f})=\pmat{ 1 & 0&0 \\ 0 & 3&0\\0&0&-4 }$
[/mm]
Oder? Hmm..
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> Ok, vielen Dank.
>
>
> [mm]M^a_a(\overrightarrow{f})[/mm] :
>
> Ich stelle also die BIlder der Basisvektoren der Basis a,
> als Lin.Komb der Basis a dar:
>
>
> [mm]x_1*\vektor{1 \\ 1\\0}+y_1*\vektor{1 \\ 0\\1}+z_1*\vektor{0 \\ 1\\1}=\vektor{2 \\ 2\\0}[/mm]
>
> [mm]\vektor{x_1 \\ y_1\\z_1}=\vektor{1 \\ 0\\0}[/mm]
>
> [mm]x_2*\vektor{1 \\ 1\\0}+y_2*\vektor{1 \\ 0\\1}+z_2*\vektor{0 \\ 1\\1}=\vektor{3 \\ 0\\3}[/mm]
>
> [mm]\vektor{x_2 \\ y_2\\z_2}=\vektor{0 \\ 3\\0}[/mm]
>
> [mm]x_3*\vektor{1 \\ 1\\0}+y_3*\vektor{1 \\ 0\\1}+z_3*\vektor{0 \\ 1\\1}=\vektor{0 \\ -4\\-4}[/mm]
>
> [mm]\vektor{x_3 \\ y_3\\z_3}=\vektor{0 \\ 0\\-4}[/mm]
>
> Dann wäre [mm]M^a_a(\overrightarrow{f})=\pmat{ 1 & 0&0 \\ 0 & 3&0\\0&0&-4 }[/mm]
>
> Oder? Hmm..
Hallo,
welcher teufel Dich für die 1. Spalte geritten hat, weiß ich ja nicht. Der Rest ist richtig - aber ziemlich unpraktisch eingefädelt.
Da stand doch
>>> $ [mm] \overrightarrow{f}(\overrightarrow{a}_1)=2\overrightarrow{a}_1,\overrightarrow{f}(\overrightarrow{a}_2)=3\overrightarrow{a}_2,\overrightarrow{f}(\overrightarrow{a}_3)=-4\overrightarrow{a}_3 [/mm] $.
Das ist doch mundgerecht serviert. Du kannst bequem ablesen, das Wievielfache von [mm] \vec{a_1} [/mm] der vektor [mm] f(\vec{a_1}) [/mm] ist, die anderen genauso.
Den Weg über die Standardbasis brauchst Du hier nicht - obgleich er stimmt.
Gruß v. Angela
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