Abgeschlossene Einheitskugel < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:08 Mi 30.04.2014 | | Autor: | Petrit |
| Aufgabe | Sei (X,d) ein beliebiger metrischer Raum. Zeigen Sie,
dass die abgeschlossene Einheitskugel [mm] B_{r}(x):= \{y\in X | d(x,y) \le r\}
[/mm]
eine abgeschlossene Teilmenge von X ist. |
Hi!
Ich habe da ein paar Problemchen mit dieser Aufgabe.
Mir fehlt noch ein wenig der Durchblick beim Thema Topologie.
Wie kann ich denn zeigen, dass die abgeschlossene Einheitskugel [mm] B_{r}(x)
[/mm]
eine abgeschlossene Teilmenge von X ist?
Ich weiß, eine Menge heißt abgeschlossen, wenn ihr Komplement offen ist.
Kann ich das hier anwenden? Wenn ja, wie? Und wie kann ich dann weitermachen?
Muss ich [mm] B_{r}(x):= \{y\in X | d(x,y) > r\} [/mm] zeigen? Wenn ja, wie könnte man das machen?
Ich weiß, so richtig Ahnung habe ich nicht. Ich hoffe trotzdem, dass ihr mir weiterhelfen könnt!
Schonmal danke und viele Grüße, Petrit!
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:38 Do 01.05.2014 | | Autor: | Ladon |
Morgen Petrit,
> Ich weiß, eine Menge heißt abgeschlossen, wenn ihr
> Komplement offen ist.
> Kann ich das hier anwenden?
Wenn du willst...
> Ich weiß, eine Menge heißt abgeschlossen, wenn ihr
> Komplement offen ist.
> Kann ich das hier anwenden? Wenn ja, wie? Und wie kann ich
> dann weitermachen?
> Muss ich [mm]B_{r}(x):= \{y\in X | d(x,y) > r\}[/mm] zeigen?
Wenn überhaupt musst du [mm] X\setminus B_r(x)=\{y\in X: d(x,y)>r\} [/mm] (so ist das Komplement definiert) ist offen zeigen, denn [mm] B_r(x) \not=\{y\in X: d(x,y)>r\} [/mm] per Definition.
Es gilt also z.zg.:
[mm] X\setminus B_r(x)=int(X\setminus B_r(x)) [/mm] (Offenheit) oder
[mm] B_r(x)=B_r(x)\cup \partial B_r(x) [/mm] (abgeschlossen).
Für die vorliegende Kugel ist es recht einfach im letzteren Fall den Rand zu finden und die Gleichheit zu zeigen. Denke dran:
Sei [mm] $A\subseteq [/mm] X$ und (X,d) metrischer Raum. x heißt Randpunkt von A, wenn x weder innerer noch äußerer Punkt zu A ist, d.h. x ist genau dann Randpunkt von A, wenn jedes [mm] U_\epsilon(x) [/mm] mit [mm] \epsilon>0 [/mm] sowohl Punkte aus A, als auch Punkte aus [mm] $M\setminus [/mm] A$ enthält.
Innerer Punkt: [mm] $x\in [/mm] A$ heißt innerer Punkt von A, wenn eine [mm] \epsilon [/mm] - Umgebung [mm] U_\epsilon(x) [/mm] für [mm] \epsilon>0 [/mm] ganz in A liegt.
MfG Ladon
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:01 Do 01.05.2014 | | Autor: | fred97 |
Nimm eine konvergente Folge [mm] (x_n) [/mm] aus [mm] B_r(x) [/mm] (wieso nennts Du das "Einheitskugel" ??) , sei [mm] x_0 [/mm] ihr Grenzwert.
Zeige: [mm] x_0 \in B_r(x).
[/mm]
Benutze dabei die Stetigkeit der Metrik
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:33 Do 01.05.2014 | | Autor: | Petrit |
Hi!
Danke für die Tipps!
Das mit der Einheitskugel steht so in der Aufgabenstellung.
Und die Stetigkeit steht mir als Hilfmittel noch nicht zur Verfügung.
Gibt es sonst noch eine Möglichkeit dies zu zeigen?
Denn die Möglichkeit, die mir Ladon gegeben hat, verstehe ich nicht so wirklich.
Wir haben wirklich nicht viel zum Thema Topologie gemacht und
deshalb weiß ich nicht so wirklich, wie ich damit umgehen kann.
Vielleicht kann mir ja noch jemand irgendwie weiterhelfen,
damit es "Klick" bei mir macht.
Ich würde mich jedenfalss sehr freuen und wäre
überaus dankbar für jegliche Hilfe.
Viele Grüße, Petrit!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:29 Do 01.05.2014 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Petrit!
> Gibt es sonst noch eine Möglichkeit dies zu zeigen?
Es geht auch direkt mit der Definition der Abgeschlossenheit.
Sei [mm] $V:=X\setminus B_r(x)$.
[/mm]
Zu zeigen ist, dass $V$ eine offene Teilmenge von $X$ ist.
D.h. zu zeigen ist:
(*) Für alle [mm] $v\in [/mm] V$ existiert ein [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] mit [mm] $U_\varepsilon(v)\subseteq [/mm] V$.
Dabei sei
[mm] $U_\varepsilon(v):=\{y\in X\;|\;d(y,v)<\varepsilon\}$.
[/mm]
Um nun (*) zu zeigen, sei [mm] $v\in [/mm] V$ (also [mm] $v\in [/mm] X$ und $d(x,v)>r$).
Wir müssen nun ein [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] finden mit [mm] $U_\varepsilon(v)\subseteq [/mm] V$.
Da $d(x,v)>r$ gilt, gilt $d(x,v)-r>0$.
Vielleicht tut es ja [mm] $\varepsilon:=d(x,v)-r$?
[/mm]
Versuchen wir also für diese Wahl von [mm] $\varepsilon$
[/mm]
[mm] $U_\varepsilon(v)\subseteq [/mm] V$
nachzuweisen.
Sei also [mm] $u\in U_\varepsilon(v)$ [/mm] (also [mm] $u\in [/mm] X$ und [mm] $d(u,v)<\varepsilon$).
[/mm]
Zu zeigen ist [mm] $u\in [/mm] V$.
Wegen [mm] $u\in [/mm] X$ ist dazu "nur" noch
[mm] $u\notin B_r(x)$
[/mm]
zu zeigen.
D.h. es ist
$d(x,u)>r$
zu zeigen.
Nach Wahl von [mm] $\varepsilon$ [/mm] gilt
[mm] $r=d(x,v)-\varepsilon\le\ldots$.
[/mm]
Wende nun die Dreiecksungleichung auf $d(x,v)$ und den Punkt $u$ an.
Verwende danach [mm] $d(u,x)<\varepsilon$.
[/mm]
Siehst du dann, wie sich alles zusammenfügt?
Viele Grüße
Tobias
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:46 Fr 02.05.2014 | | Autor: | Petrit |
Super, vielen Dank!
Ich habs jetzt raus.
Nochmals danke!
Gruß, Petrit!
|
|
|
|
