matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Hochschulmathe
  Status Uni-Analysis
    Status Reelle Analysis
    Status UKomplx
    Status Uni-Kompl. Analysis
    Status Differentialgl.
    Status Maß/Integrat-Theorie
    Status Funktionalanalysis
    Status Transformationen
    Status UAnaSon
  Status Uni-Lin. Algebra
    Status Abbildungen
    Status ULinAGS
    Status Matrizen
    Status Determinanten
    Status Eigenwerte
    Status Skalarprodukte
    Status Moduln/Vektorraum
    Status Sonstiges
  Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Algebra
    Status Zahlentheorie
  Status Diskrete Mathematik
    Status Diskrete Optimierung
    Status Graphentheorie
    Status Operations Research
    Status Relationen
  Status Fachdidaktik
  Status Finanz+Versicherung
    Status Uni-Finanzmathematik
    Status Uni-Versicherungsmat
  Status Logik+Mengenlehre
    Status Logik
    Status Mengenlehre
  Status Numerik
    Status Lin. Gleich.-systeme
    Status Nichtlineare Gleich.
    Status Interpol.+Approx.
    Status Integr.+Differenz.
    Status Eigenwertprobleme
    Status DGL
  Status Uni-Stochastik
    Status Kombinatorik
    Status math. Statistik
    Status Statistik (Anwend.)
    Status stoch. Analysis
    Status stoch. Prozesse
    Status Wahrscheinlichkeitstheorie
  Status Topologie+Geometrie
  Status Uni-Sonstiges

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenUni-AnalysisAbleiten
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Deutsch • Englisch • Französisch • Latein • Spanisch • Russisch • Griechisch
Forum "Uni-Analysis" - Ableiten
Ableiten < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Analysis"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Ableiten: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:52 Mo 03.05.2004
Autor: dave

Hallo, ich habe das mit der Kettenregel wohl noch nicht ganz verstanden. Ich wäre euch sehr dankbar wenn mir jemand helfen kann.

Wie Leite ich y=1/(x-1)^(3/4) nach x ab?

Resultat -3/4*(x-1)^(7/4)

Besten Dank Gruss Dave

        
Bezug
Ableiten: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:43 Mo 03.05.2004
Autor: Marc

Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

Hallo Dave,

willkommen im MatheRaum bzw. auf vorhilfe.de! :-)

> Hallo, ich habe das mit der Kettenregel wohl noch nicht
> ganz verstanden. Ich wäre euch sehr dankbar wenn mir jemand
> helfen kann.
>  
> Wie Leite ich y=1/(x-1)^(3/4) nach x ab?

Die Kettenregel behandelt die Ableitung von zusammengesetzten (=verketteten) Funktionen.

Ein verkettete Funktion $f$ besteht aus einer inneren Funktion $g(x)$ und einer äußeren Funktion $h(x)$.
Die Bezeichnung "innen" und "außen" kommt daher, weil die innere Funktion in die äußere Funktion eingesetzt ist:

$f(x)=h(\;g(x)\;)$

In deinem Fall ist offenbar (bzw. genauer: "kann offenbar so gewählt werden", denn es könnte auch mehrere Möglichkeiten geben, eine innere und äußere Funktion zuzuordnen):

$f(x)=\left( \bruch{1}{x-1} \right)^\bruch{3}{4}$

innere Funktion: $g(x)=\bruch{1}{x-1}$, ein wenig umgeformt: $g(x)=(x-1)^{-1}$
äußere Funktion: $h(x)=x^\bruch{3}{4}$

Probe: Setzt man die innere Funktion in die äußere ein, ergibt sich: $h(g(x))=h(\bruch{1}{x-1})=\left( \bruch{1}{x-1} \right)^\bruch{3}{4}=f(x)$ [ok]

Kommen wir nun zu dem eigentlichen Problem, dem Ableiten:

Die Kettenregel lautet für die Funktion $f(x)$:

$f'(x)=g'(x)*h'(\;g(x)\;)$

Merksatz: "Innere Ableitung mal äußere Ableitung"

In einer Nebenrechnung bestimme ich die Ableitungen der inneren und äußere Funktion:

$g'(x)=(-1)*(x-1)^{-2}$ (das ist genau genommen ebenfalls die Kettenregel, das war also ziemlich dämlich von mir; akzeptiere das Ergebnis jetzt an dieser Stelle, versuche die Kettenregel zu verstehen und vollziehe diese Anwendung der Kettenregel nach)

$h'(x)=\bruch{3}{4}*x^{\bruch{3}{4}-1}=\bruch{3}{4}*x^{-\bruch{1}{4}}$

Nun setze ich diese Teilergebnisse in die Kettenregel ein:

$f'(x)$
$=g'(x)*h'(\;g(x)\;)$
$=(-1)*(x-1)^{-2}*h'(\;\underbrace{(x-1)^{-1}}_{=g(x)}\;)$

Beachte hier, dass in die Ableitung der äußeren Funktion die innere Funktion, also g(x) eingesetzt wird; das wird häufig falsch gemacht.

$=(-1)*(x-1)^{-2}*\bruch{3}{4}*\left((x-1)^{-1}\right)^{-\bruch{1}{4}}$
$=-\bruch{3}{4}*(x-1)^{-2}*(x-1)^{\bruch{1}{4}$
$=-\bruch{3}{4}*(x-1)^{-\bruch{8}{4}}*(x-1)^{\bruch{1}{4}$
$=-\bruch{3}{4}*(x-1)^{-\bruch{8}{4}+\bruch{1}{4}}$
$=-\bruch{3}{4}*(x-1)^{-\bruch{7}{4}}$

> Resultat -3/4*(x-1)^(7/4)

Da hast du dann das Vorzeichen im Exponenten vergessen, oder ich habe was falsch gerechnet.

So, bei weiteren Fragen melde dich bitte wieder!

Alles Gute,
Marc

Bezug
                
Bezug
Ableiten: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:19 Mo 03.05.2004
Autor: dave

Hoi Marc

Erstmal danke das du dir zeit genommen hast.

Ich habe aber noch ne Frage. Ist es möglich das du ganz oben in deiner erklärung von einer Falschen form ausgegangen bist. [mm] f(x)=\left( \bruch{1}{x-1} \right)^\bruch{3}{4} [/mm] wenn ich dass mit Maple ableite erhalte ich etwas anderes. das hatt mich etwas verwirrt und habe deswegen auch den unteren Teil nicht ganz verstanden ich meine es wäre nur das unter dem Bruchstrich hoch 3/4.

Gruss Dave

Bezug
        
Bezug
Ableiten: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:53 Mo 03.05.2004
Autor: Marcel

Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

'Nachtrag: Kommentar (23.15Uhr): Ups, Sorry. Marc hatte das ganze doch schon richtig gelöst. Warum habe ich mir die Arbeit gemacht ;-)? Ich habe das erst jetzt bemerkt. Sorry, Marc, ich hab nicht aufgepasst, ich dachte, du hättest eine andere Funktion abgeleitet...
PS: Ich glaube, Dave hat das hier nur etwas unglücklich geschrieben:

> -3/4*(x-1)^(7/4)

Er meint vermutlich:
$f'(x)=-\bruch{3}{4*(x-1)^{\bruch{7}{4}}} $...
Und was ich außerdem noch anmerken wollte:
Es gilt folgende Gleichheit (falls $x > 1$):
$\bruch{1}{(x-1)^{\bruch{3}{4}}}=(\bruch{1}{x-1})^\bruch{3}{4}$
$=((x-1)^{-1})^\bruch{3}{4}=(x-1)^\bruch{-3}{4}$

Naja, nun dennoch mein Rechenweg (für $x > 1$ und unter Beachtung, dass alles so ist, dass man das auch machen darf ;-))...'

Hallo Dave,
$y=\bruch{1}{(x-1)^\bruch{3}{4}}$ meinst du also.
Ich notiere es dann lieber so:
$f(x)=\bruch{1}{(x-1)^\bruch{3}4}}$
Zunächst einmal läßt sich das ganze wie folgt umschreiben:
$f(x)=(x-1)^{\bruch{-3}{4}$ (das sollte dir bekannt sein, oder? Ggf. einfach nachfragen...)
Dann definierst du etwa
(I) $g(x):=x^{\bruch{-3}{4}$ und
(II) $h(x):=x-1$, denn damit gilt offenbar:
$f(x)=g(h(x))$ und mit der Kettenregel erhältst du:
(III) $f'(x)=g'(h(x))*h'(x)$.

Für (III) benutzen zu können, brauchen wir noch g' und h'.
Aus (I) folgt:
$g'(x)=-\bruch{3}{4} *x^{(\bruch{-3}{4}-1)$
$=-\bruch{3}{4} *x^{\bruch{-7}{4}$
Also erhältst du: $g'(h(x))=-\bruch{3}{4} *(h(x))^{\bruch{-7}{4}$
$=-\bruch{3}{4} *(x-1)^{\bruch{-7}{4}$. (*)

Aus (II) folgt:
$h'(x)=1$. (**)

Wir setzen nun noch (*) und (**) in (III) ein:
$f'(x)=g'(h(x))*h'(x)=-\bruch{3}{4} *(x-1)^{\bruch{-7}{4}}*1$
$=-\bruch{3}{4} *(x-1)^{\bruch{-7}{4}$

Natürlich läßt sich das ganze auch wieder umschreiben:
$f'(x)=-\bruch{3}{4} *\bruch{1}{(x-1)^{\bruch{7}{4}}}$ bzw.
$f'(x)=-\bruch{3}{4*(x-1)^{\bruch{7}{4}}} $ und so erhältst du deine vorgeschlagene Lösung (deshalb glaube ich, keinen Rechenfehler gemacht zu haben; es könnte natürlich dennoch einer vorhanden sein, also bitte kontrollieren...) :-)

Viele Grüße
Marcel

Bezug
                
Bezug
Ableiten: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 01:46 Di 04.05.2004
Autor: Marc

Hallo dave und Marcel!

>  PS: Ich glaube, Dave hat das hier nur etwas unglücklich
> geschrieben:
>  > -3/4*(x-1)^(7/4)

>  Er meint vermutlich:
>  [mm] $f'(x)=-\bruch{3}{4*(x-1)^{\bruch{7}{4}}} [/mm] $...

Ja, das wird es sein, in diese Richtung hatte ich gar nicht gedacht.

Dein Lösungsweg, Marcel, gefällt mir auch besser, da er zur Veranschaulichung der Kettenregel die Kettenregel nicht wiederum als Teil anwendet, wie ich das dämlicherweise gemacht habe.

Und, dave, ist es jetzt klar, wie man die Kettenregel anwendet?

Falls es noch Probleme gibt, frage bitte nach.

Viele Grüße,
Marc

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Analysis"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.unimatheforum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]