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Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - Ableitung
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Ableitung: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 04:13 Mi 09.05.2012
Autor: DudiPupan

Aufgabe
Berechnen Sie die Ableitung von:
[mm] $\mathbb{R}^m\to \mathbb{R}, \; \mapsto \frac{m+1}{2}\sum\limits_{k=2}^m{(x_k-x_{k-1})^2)^2}+\frac{m+1}{2}(x_1)^2+\frac{m+1}{2}(b-x_m)^2-\frac{1}{m+1}\sum\limits_{k=1}^m{x_kg_k},\;\; a,b\in\mathbb{R}, \; g\in\mathbb{R}^m \quad \text{fest}$ [/mm]

Hallo,
ich arbeite gerade an dieser Aufgabe und habe mir bis jetzt folgende Gedanken gemacht:
Ich habe [mm] $f_3$ [/mm] aufgeteilt in:
[mm] $g(x):=\frac{m+1}{2}\sum\limits_{k=2}^m{(x_k-x_{k-1})^2)^2}$ [/mm]
[mm] $h(x):=\frac{m+1}{2}(x_1)^2$ [/mm]
[mm] $i(x):=\frac{m+1}{2}(b-x_m)^2$ [/mm]
[mm] $j(x):=\frac{1}{m+1}\sum\limits_{k=1}^m{x_kg_k}$ [/mm]

Dann habe ich mir $g$ genauer angeschaut:
[mm] $g(x)=\frac{m+1}{2}\sum\limits_{k=2}^m{(x_k-x_{k-1})^2)^2}=\frac{m+1}{2}\sum\limits_{\substack{k=2\\k\neq p\\ k\neq p+1}}^m{(x_k-x_{k-1})^2+(x_p-x_{p-1})^2+(x_{p+1}-x_p)^2}$ [/mm] für [mm] $2\leq [/mm] p [mm] \leq [/mm] m-1$
Somit ergibt sich für [mm] $\frac{\partial g_p}{\partial x_p}=\vektor{(m+1)(x_1-x_2)\\(m+1)(2x_3-x_2-x_4)\\ \vdots \\ (m+1)(x_{m-1}-x_{m-2}-x_m) \\ (m+1)(x_m-x_{m-1}}$ [/mm]

Für [mm] $\frac{\partial h_p}{\partial x_p}=\vektor{(m+1)(x_1-a)\\0\\ \vdots \\ 0 \\ 0}$ [/mm]

Für [mm] $\frac{\partial i_p}{\partial x_p}=\vektor{0\\0\\ \vdots \\ 0 \\ (m+1)(2x_m-b)} [/mm]

Jedoch weiß ich nicht genau, was ich bei [mm] $j(x):=\frac{1}{m+1}\sum\limits_{k=1}^m{x_kg_k}$ [/mm] mit dem [mm] $g_k$ [/mm] anfangen soll.
Das ist ja eigentlich fest, aber was hat dann der Laufindex $k$ hier zu suchen?
Das verstehe ich nicht ganz.
Aber stimmt mein Ansatz bis jetzt ungefähr?

Vielen Dank
DudiPupan

        
Bezug
Ableitung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:10 Mi 09.05.2012
Autor: meili

Hallo DudiPupan,

> Berechnen Sie die Ableitung von:
>  [mm]\mathbb{R}^m\to \mathbb{R}, \; \mapsto \frac{m+1}{2}\sum\limits_{k=2}^m{(x_k-x_{k-1})^2)^2}+\frac{m+1}{2}(x_1)^2+\frac{m+1}{2}(b-x_m)^2-\frac{1}{m+1}\sum\limits_{k=1}^m{x_kg_k},\;\; a,b\in\mathbb{R}, \; g\in\mathbb{R}^m \quad \text{fest}[/mm]

? [mm] $\vec{x} \mapsto \frac{m+1}{2}\sum\limits_{k=2}^m{(x_k-x_{k-1})^2)^2}+\frac{m+1}{2}(a-x_1)^2+\frac{m+1}{2}(b-x_m)^2-\frac{1}{m+1}\sum\limits_{k=1}^m{x_kg_k}$ [/mm] ??
Außerdem verstehe ich [mm] $\sum\limits_{k=2}^m{(x_k-x_{k-1})^2)^2}$ [/mm] nicht.
Wo fehlt eine Klammer-auf?

>  
> Hallo,
>  ich arbeite gerade an dieser Aufgabe und habe mir bis
> jetzt folgende Gedanken gemacht:
>  Ich habe [mm]f_3[/mm] aufgeteilt in:
>  
> [mm]g(x):=\frac{m+1}{2}\sum\limits_{k=2}^m{(x_k-x_{k-1})^2)^2}[/mm]

siehe oben

>  [mm]h(x):=\frac{m+1}{2}(x_1)^2[/mm]

?  [mm]h(x):=\frac{m+1}{2}(a-x_1)^2[/mm] ?

>  [mm]i(x):=\frac{m+1}{2}(b-x_m)^2[/mm]
>  [mm]j(x):=\frac{1}{m+1}\sum\limits_{k=1}^m{x_kg_k}[/mm]
>  
> Dann habe ich mir [mm]g[/mm] genauer angeschaut:
>  
> [mm]g(x)=\frac{m+1}{2}\sum\limits_{k=2}^m{(x_k-x_{k-1})^2)^2}=\frac{m+1}{2}\sum\limits_{\substack{k=2\\k\neq p\\ k\neq p+1}}^m{(x_k-x_{k-1})^2+(x_p-x_{p-1})^2+(x_{p+1}-x_p)^2}[/mm]
> für [mm]2\leq p \leq m-1[/mm]
>  Somit ergibt sich für
> [mm]\frac{\partial g_p}{\partial x_p}=\vektor{(m+1)(x_1-x_2)\\(m+1)(2x_3-x_2-x_4)\\ \vdots \\ (m+1)(x_{m-1}-x_{m-2}-x_m) \\ (m+1)(x_m-x_{m-1}}[/mm]

?

>  
> Für [mm]\frac{\partial h_p}{\partial x_p}=\vektor{(m+1)(x_1-a)\\0\\ \vdots \\ 0 \\ 0}[/mm]

[ok]

>  
> Für [mm]$\frac{\partial i_p}{\partial x_p}=\vektor{0\\0\\ \vdots \\ 0 \\ (m+1)(2x_m-b)}[/mm]

[notok]
[mm]$\frac{\partial i_p}{\partial x_p}=\vektor{0\\0\\ \vdots \\ 0 \\ (m+1)(x_m-b)}[/mm]

>  
> Jedoch weiß ich nicht genau, was ich bei
> [mm]j(x):=\frac{1}{m+1}\sum\limits_{k=1}^m{x_kg_k}[/mm] mit dem [mm]g_k[/mm]
> anfangen soll.
>  Das ist ja eigentlich fest, aber was hat dann der
> Laufindex [mm]k[/mm] hier zu suchen?

$g [mm] \in \IR^m$; [/mm] daher [mm] $g_k$ [/mm] die k-te Komponente von g.

[mm]$\frac{\partial j_p}{\partial x_p}=\vektor{\frac{1}{m+1}*g_1\\\frac{1}{m+1}*g_2\\ \vdots \\ \frac{1}{m+1}*g_{m-1} \\ \frac{1}{m+1}*g_m}[/mm]

>  Das verstehe ich nicht ganz.
>  Aber stimmt mein Ansatz bis jetzt ungefähr?
>  
> Vielen Dank
>  DudiPupan

Gruß
meili

Bezug
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