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Hi Leute
Ich steh momentan voll auf dem Schlauch und habe einfach keine Ahnung, wie ich diese 2 Aufgaben lösen soll. Ich brauche unbedinget hilfe.
1.) Gegeben ist der Graph der Funktion f mit f(x)= [mm] \bruch{1}{2} x^2 [/mm] und für jedes r [mm] \in [/mm] R eine gerade gr:y= 2x + r
Bestimmen Sie r so, dass gr mit dem Graphen von f genau einen gemeinsamen Punkt Po hat.
2.) Die Mittellinie einer Rennstrecke wird durch y= 4 - [mm] \bruch{1}{2} x^2 [/mm] beschrieben. Bei spiegelglatter Fahrbahn rutscht ein Fagrzeug und landet im Punkt Y (0|6) in den Strohballen.
Wo hat das Fahrzeug die Straße verlassen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:58 So 27.11.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Walhallajinx!
> 1.) Gegeben ist der Graph der Funktion f mit f(x)= [mm]\bruch{1}{2} x^2[/mm]
> und für jedes r [mm]\in[/mm] R eine gerade gr:y= 2x + r
> Bestimmen Sie r so, dass gr mit dem Graphen von f genau
> einen gemeinsamen Punkt Po hat.
Du musst $r_$ derart bestimmen, dass die genannte Gerade und die Kurve folgende beiden Eigenschaften im Punkt [mm] $P_0 [/mm] \ [mm] \left( \ x_0 \ ; \ y_0 \ \right)$ [/mm] erfüllt.
Denn schließlich muss die gesuchte Gerade sowohl im Funktionswert als auch in der Steigung der Funktion entsprechen:
(1.) [mm] $f(x_0) [/mm] \ = \ [mm] g_r(x_0)$ $\gdw$ $\bruch{1}{2}*x_0^2 [/mm] \ = \ [mm] 2*x_0 [/mm] + r$
(2.) [mm] $f'(x_0) [/mm] \ = \ [mm] g_r'(x_0)$ $\gdw$ [/mm] $..._$
Aus der 2. Gleichung nun zunächst $x_$ bestimmen und anschließend mit der ersten Gleichung das gesuchte $r_$ ...
> 2.) Die Mittellinie einer Rennstrecke wird durch y= 4 - [mm]\bruch{1}{2} x^2[/mm] beschrieben.
> Bei spiegelglatter Fahrbahn rutscht ein Fahrzeug und landet im Punkt Y (0|6) in den
> Strohballen.
> Wo hat das Fahrzeug die Straße verlassen?
Hier wird ebenfalls die Tangentengleichung gesucht, die durch den Punkt $Y_$ verläuft.
Diese hat im gesuchten (Berühr-)Punkt $B \ [mm] \left( \ x_b \ ; \ y_b\ \right)$ [/mm] denselben Funktionswert wie die Kurve sowie dieselbe Steigung:
[mm] $m_t [/mm] \ = \ [mm] f'(x_b) [/mm] \ = \ [mm] -x_b$
[/mm]
[mm] $y_b [/mm] \ = \ [mm] 4-\bruch{1}{2}*x_b^2$
[/mm]
Stellen wir nun die Punkt-Steigungs-Form der Tangente auf, so erhalten wir:
[mm] $m_t [/mm] \ = \ [mm] \bruch{y_b-y_Y}{x_b-x_Y} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{4-\bruch{1}{2}*x_b^2 - 6}{x_b-0} [/mm] \ = \ [mm] -x_b$
[/mm]
Und nun diese Gleichung nach [mm] $x_b$ [/mm] umstellen.
Gruß
Loddar
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