Ableitung der funktion f < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Bestimme näherungsweise die ableitung der funktion f an der stelle x0=2 mithilfe des differenzquotienten für h gegen 0.
a) f(x)= x²
b) [mm] f(x)=\bruch{2}{x} [/mm] |
Wäre die Ableitung von f an der stelle x0=2 zw. -1,999 und -2,001 ?
wie komme ich jetzt an die näherung zu f´ und wofür brauche ich f(x)=x²?
Liebe Grüße
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Hallo,
> Bestimme näherungsweise die ableitung der funktion f an
> der stelle x0=2 mithilfe des differenzquotienten für h
> gegen 0.
>
> a) f(x)= [mm] x^2
[/mm]
> b) [mm]f(x)=\bruch{2}{x}[/mm]
> Wäre die Ableitung von f an der stelle x0=2 zw. -1,999
> und -2,001 ?
> wie komme ich jetzt an die näherung zu f´ und wofür
> brauche ich [mm] f(x)=x^2?
[/mm]
Hier ist [mm] x_0=2, [/mm] also lautet der Differenzenquotient:
[mm] \lim_{h\to 0}\frac{f(2+h)-f(2)}{h}=\lim_{h\to0}\frac{(2+h)^2-2^2}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{4+4h+h^2-4}{h}
[/mm]
Im Zähler kannst du h ausklammern & dann kürzen. Dann wird f'(2) nicht näherungsweise, sondern exakt berechnet.
zu b) gleiche Vorgehensweise.
Schreib den Differenzenquotient hin und forme den Zähler so um, dass sich das h im Nenner kürzt (es geht).
>
> Liebe Grüße
LG
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âlso ich dachte, um h auszuklammern müsste jede zahl im zähler ein h haben:
[mm] h*\bruch{4+1+h-4}{h}
[/mm]
ich weiß nicht was mir das bringen soll und auch nicht wann und wofür ich f(x) brauche...
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> âlso ich dachte, um h auszuklammern müsste jede zahl im
> zähler ein h haben:
>
> [mm]h*\bruch{4+1+h-4}{h}[/mm]
Das 4-4=0 ist, sollte dir vorher schon noch auffallen. Dann erst kannst du h ausklammern.
[mm] $\frac{4+4h+h^2-4}{h}=\frac{4h+h^2}{h}= \frac{h(4+h)}{h}=4+h$
[/mm]
>
> ich weiß nicht was mir das bringen soll und auch nicht
> wann und wofür ich f(x) brauche...
Nachdem du ha ausgeklammert hast, kannst du den Grenzwert durch direktes Einsetzen von h=0 ablesen (h läuft ja gegen 0)
Gruß
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dann habe ich als grenzwert 4?
also f´(2)=4
wenn ich jetzt b) bearbeite undwieder x0=2 einsetze kommt doch aber dasselbe heraus oder?
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ich würde jetzt einsetzen in:
[mm] \bruch{f(2+h)-f(2)}{h}
[/mm]
das ist doch jetzt das gleiche, weil h wieder gegen 0 geht und x0=2 ist.
ich verstehe nicht inwiefern ich da f(x) noch einbringen muss b.z.w an welcher stelle.
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> ich würde jetzt einsetzen in:
>
> [mm]\bruch{f(2+h)-f(2)}{h}[/mm]
>
> das ist doch jetzt das gleiche, weil h wieder gegen 0 geht
> und x0=2 ist.
> ich verstehe nicht inwiefern ich da f(x) noch einbringen
> muss b.z.w an welcher stelle.
So (für f einfach die Abbildungsvorschrift einsetzen):
[mm] \bruch{f(2+h)-f(2)}{h}=\bruch{2/(2+h)-2/2}{h}=\bruch{2/(2+h)-(2+h)/(2+h)}{h}=\bruch{(2-2-h)/(2+h)}{h}=\bruch{-h/(2+h)}{h}=\ldots
[/mm]
LG
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also ist der grenzwert f´(2)=2?
nur die dritte umformung finde ich noch ein bisschen unplausibel ,weil dort drei klammern sin d und die grundformel nur zwei vorsieht.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:33 So 13.03.2011 | | Autor: | Loddar |
Hallo!
> also ist der grenzwert f´(2)=2?
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Was hast Du wie gerechnet?
Gruß
Loddar
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[mm] \bruch{-h/(2+h)}{h}.
[/mm]
Ich dachte wenn ich für jedes h wieder 0 einsetze bleibt nur noch die 2 übrig.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:46 So 13.03.2011 | | Autor: | Loddar |
Hallo!
Das stimmt prinzipiell. Bedenke aber, dass die 2 im Nenner steht.
Zudem beachte, dass vor dem Bruch noch ein Minuszeichen steht.
Gruß
Loddar
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hä? nenner ist doch unterm strich und da steht nur h. muss ich wegen dem- alles was oben auf dem strich steht mal -1 nehmen? dann wäre das ergebnis von f´(2)=-2
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> hä? nenner ist doch unterm strich und da steht nur h. muss
> ich wegen dem- alles was oben auf dem strich steht mal -1
> nehmen? dann wäre das ergebnis von f´(2)=-2
[mm] \bruch{-h/(2+h)}{h}=\frac{-h}{h*(2+h)}=\frac{-1}{2+h}=..
[/mm]
gruß tee
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[mm] \bruch{-1}{2+0} [/mm] also -0,5? und das steht da drunter weil vorher über dem strich geteilt werden sollte?
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Hallo, -0,5 ist korrekt, ich glaube deine Probleme liegen in der Bruchrechnung
[mm] \bruch{-\bruch{h}{2+h}}{h}=-\bruch{h}{2+h}:h=-\bruch{h}{2+h}:\bruch{h}{1}=-\bruch{h}{2+h}*\bruch{1}{h}=-\bruch{1}{2+h}
[/mm]
Steffi
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gut, dankeschön an alle.
ich werde mir das nochmal anschauen!
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
