Ableitung des Cosinus < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass cos´x = 0 ist. |
Ich hab das jetzt so gemacht:
cos z = [mm] \summe_{k=0}^{\infty} (-1)^{k}*\bruch{z^{k}}{(2k)!}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] cos z = [mm] 1+(\summe_{k=1}^{\infty} (-1)^{k}*\bruch{z^{k-1}}{(2k)!})*z
[/mm]
=cos [mm] z_{0} [/mm] + g(z) * [mm] (z-z_{0})
[/mm]
mit g(z) = [mm] \summe_{k=1}^{\infty} (-1)^{k}*\bruch{z^{k-1}}{(2k)!} [/mm] = [mm] \summe_{n=0}^{\infty} (-1)^{n+1} \bruch{z^{n}}{(2n+2)!}
[/mm]
g(z) ist eine Potenreihe mt konvergenzradius [mm] p=\infty
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] cos´(0) = g(0) = [mm] (-1)*\bruch{1}{2} [/mm] = [mm] -\bruch{1}{2}
[/mm]
Aber rauskommen sollte ja cos´(x) = 0...
kann mir jemand sagen, wo der Fehler liegt???
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:51 Mi 23.04.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Albtalrobin!
Mit [mm] $\cos'(0) [/mm] \ = \ [mm] \sin(0) [/mm] \ = \ 0$ wäre es wohl zu einfach, wie?! 
Mit Hilfe der Potenzreihenentwicklung des [mm] $\cos(x)$ [/mm] solltest Du dir einfach mal die ersten Glieder separat aufschreiben und anschließend ableiten:
[mm] $$\cos(x) [/mm] \ = \ [mm] \summe_{k=0}^{\infty}(-1)^k*\bruch{x^{2k}}{(2k)!} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{x^0}{0!}-\bruch{x^2}{2!}+\bruch{x^6}{6!}-... [/mm] \ = \ [mm] 1-\bruch{1}{2}*x^2+\bruch{1}{6}*x^6-...$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:25 Fr 25.04.2008 | | Autor: | Plapper |
Hallo alle zusammen!
Zunächst erstmal hätte ich eine Frage: Müsste es bei den einzelnen Gliedern der Reihe beim dritten Glied nicht 4! statt 6! heißen?
Nun hab ich die Glieder mal ausgerechnet:
[mm] 1-\bruch{1}{2}*x^{2}+\bruch{1}{24}*x^{4}-\bruch{1}{720}*x^{6}....
[/mm]
Wenn ich das jetzt ableite, dann sieht das so aus:
[mm] 0-x+\bruch{1}{6}*x^{3}-\bruch{1}{120}*x^{5}....
[/mm]
Wenn ich das alles an der Stelle [mm] x_{0}=0 [/mm] ableite, dann bleibt ja nur noch 0 übrig...
Kann man so argumentieren?
lg, Plapper
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:29 Fr 25.04.2008 | | Autor: | Kroni |
Hi,
ja, da müsste 4! stehen.
Wenn ihr in der Vorlesung schon hattet, dass man Potenzreihen einfach so ableiten darf (was man ja auch darf, aber das ist ja nicht trivial zu sehen, weil es ja unendliche Reihen sind...), dann hast du mit der Ableitung der Potenzreihe die Ableitung des Cosinus da stehen.
Das mit dem 0 dann einstezen, und sagen, dass das =0 ist, ist genau die richtige Argumentation.
LG
Kroni
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:15 Fr 25.04.2008 | | Autor: | Plapper |
Danke für deine schnelle Antwort!
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