Ableitung inverser Funktion < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:29 So 08.09.2013 | | Autor: | acid |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| Aufgabe | $\vec{f}(x, y) = \pmat{ x \\ x+y+y^3}$ $\vec{g}(x, y) = \pmat{ arctan(x+y) \\ sinh(x-y)$
\vec{h} = \vec{f}^{-1} \circ \vec{g}. Berechnen Sie \vec{h}'(0, 0). |
Hallo,
für diese Aufgabe habe ich zuerst die Kettenregel benutzt:
$\vec{h}'(x, y) = (\vec{f}^{-1})'(g(x, y)) \cdot g'(x, y)$
und wollte dann diesen Satz anwenden:
$(\vec{f}^{-1})'(\vec{x}}) = (\vec{f'} (\vec{f}^{-1}(\vec{x})))^{-1}$
Insgesamt hätte ich dann das hier auszurechnen:
$\vec{h}'(x, y) = (\vec{f'} (\vec{f}^{-1}(g(x, y))))^{-1} \cdot g'(x, y)$
Ab hier weiß ich jetzt leider nicht mehr weiter, weil ich $f^{-1}$ nicht einfach bestimmen kann. In der Musterlösung ist trotzdem etwas ganz anderes angegeben, nämlich:
$\vec{h}'(x, y) = (\vec{f}' (\vec{g}(x, y)}))^{-1} \cdot \vec{g}'(x, y)$
Hier fehlt der $f^{-1}$-Teil komplett und die Ableitung ist natürlich einfach auszurechnen. (Das Ergebnis ist wohl $\vec{h}'(0, 0) = \pmat{1 & 1 \\ 0 & -2}$). Aber warum habe ich da ein $f^{-1}$ zu viel? Stimmt meine Formel nicht?
Viele Grüße
acid
|
|
| |
|
Man sieht leicht, daß [mm]f[/mm] umkehrbar ist. Wie nämlich?
Es ist jedoch nicht nötig, die Umkehrfunktion allgemein zu bestimmen. Es genügt völlig, wenn man etwa durch scharfes Hinschauen sieht: [mm]f(0,0) = (0,0)[/mm]. Dann muß natürlich auch [mm]f^{-1}(0,0) = (0,0)[/mm] sein.
Deine Formel scheint mir zu stimmen. Wo in der Musterlösung das [mm]f^{-1}[/mm] hingekommen ist, weiß ich auch nicht. Vielleicht ein Schreibfehler. Jedenfalls hast du nun
[mm]h'(0,0) = \left( f' \left( f^{-1} \left( g(0,0) \right) \right) \right)^{-1} \cdot g'(0,0)[/mm]
zu berechnen. Und da sowohl [mm]g(0,0) = (0,0)[/mm] als auch, wie eingangs besprochen, [mm]f^{-1}(0,0) = (0,0)[/mm] ist, wird das zu
[mm]h'(0,0) = \left( f'(0,0) \right)^{-1} \cdot g'(0,0)[/mm]
Du hättest natürlich aus [mm]h = f^{-1} \circ g[/mm] auch erst [mm]f \circ h = g[/mm] machen können. Differenzieren ergibt:
[mm](f' \circ h) \cdot h' = g'[/mm]
Wenn man jetzt hier [mm](x,y) = (0,0)[/mm] einsetzt, erhält man
[mm]f' \left( h(0,0) \right) \cdot h'(0,0) = g'(0,0)[/mm]
Da auch [mm]h(0,0) = (0,0)[/mm] ist, folgt
[mm]f'(0,0) \cdot h'(0,0) = g'(0,0)[/mm]
Und nach [mm]h'(0,0)[/mm] aufgelöst: [mm]h'(0,0) = \left( f'(0,0) \right)^{-1} \cdot g'(0,0)[/mm]. So gestaltet sich das etwas übersichtlicher, da man nicht so viele Schachtelungsebenen hat.
|
|
|
|
