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Forum "Exp- und Log-Funktionen" - Ableitung von Exp-Funktionen
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Ableitung von Exp-Funktionen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:48 Sa 10.06.2006
Autor: crash24

Aufgabe 1
Berechnen Sie die erste und zweite Ableitung der folgenden Funktion

[mm] f(x) = e^{e^x} [/mm]

Aufgabe 2
Bestimmen Sie alle lokalen Maxima und Minima der Funktion

[mm] f(x) = xe^x[/mm]

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Hallo.

zu Aufgabe 1:
Ich habe mich an dieser Aufgabe schon versucht und folgendes Ergebnis für die erste Ableitung

[mm] f'(x) = e^{e^x} [/mm]

Bin mir aber nicht sicher ob dies richtig ist.
Für die zweite Ableitung habe ich noch kein Ergebnis. Könnte es sein, dass sie ebenso wie die Stammfunktion lautet?

zu Aufgabe 2:

Ich komme mit dem Faktor vor [mm] e^x [/mm] nicht so ganz zurecht. Die Ableitung von [mm] e^x [/mm] lautet ja wieder [mm] e^x. [/mm] Kann man nicht den Faktor ausklammern und erhält dann als erste Ableitung wieder [mm] xe^x [/mm] ?

Freue mich über jede Hilfe.

Gruß
Crash





        
Bezug
Ableitung von Exp-Funktionen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:32 Sa 10.06.2006
Autor: Arkus

Hallo :)

In Aufgabe 1 liegt eine verkettete Funktion vor, deshalb musst du die Kettenregel anwenden:

f(x)=u(v(x)) -> f'(x)=u'(v(x)) * v'(x) (Ableitung der äußeren mal Ableitung der inneren Funktion)

also:

[mm] f(x)=e^{e^{x}} [/mm] -> [mm] f'(x)=e^{e^{x}} \cdot e^{x} [/mm]

Dabei ist [mm] e^{e^{x}} [/mm] die äußere und [mm] e^x [/mm] die innere Funktion.

Bei der zweiten Ableitung kannst du dann die Produktregel anwenden, in der du aber wieder die Kettenregel anwenden musst.

Oder eleganter: Du fasst den Ausdruck wegen der Potenzregel zusammen zu [mm] e^{e^{x}+x} [/mm] und leitest das wieder wie im ersten Schritt ab, mithilfe der Kettenregel.

In Aufgabe 2 liegt ein Produkt vor, deshalb musst du sturr nach der Produktregel ableiten:

f(x)=u(x) * v(x) -> f'(x)=u'(x)*v(x)+u(x)*v'(x)

Das x ist dein u(x) und das [mm] e^x [/mm] dein v(x).

MfG Arkus

Bezug
                
Bezug
Ableitung von Exp-Funktionen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:06 Sa 10.06.2006
Autor: crash24

@ Arkus

Vielen Dank für Deine schnelle Unterstützung.

Habe jetzt mal versucht die zweite Ableitung zu Aufgabe 1 zu berechnen und habe folgendes Ergebnis:

[mm] f''(x) = \left(e^{e^x}*e^x\right) * e^x + e^{e^x} * e^x [/mm]

Gruß
crash24

Bezug
                        
Bezug
Ableitung von Exp-Funktionen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:49 Sa 10.06.2006
Autor: Arkus


> @ Arkus
>  
> Vielen Dank für Deine schnelle Unterstützung.
>  
> Habe jetzt mal versucht die zweite Ableitung zu Aufgabe 1
> zu berechnen und habe folgendes Ergebnis:
>  
> [mm]f''(x) = \left(e^{e^x}*e^x\right) * e^x + e^{e^x} * e^x[/mm]
>  
> Gruß
> crash24

[ok]

Kannst es noch zusammenfassen zu: [mm] f'(x)=e^{e^x+2x}+e^{e^x+x} [/mm]

MfG Arkus

Bezug
                
Bezug
Ableitung von Exp-Funktionen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:18 Sa 10.06.2006
Autor: crash24

Hallo nochmal.

Für Aufgabe 2 habe ich die folgende Ableitung berechnet:

Stammfunktion war [mm] f(x) = x*e^x [/mm]

1. Ableitung

[mm] f'(x) = 1 * e^x + x * e^x [/mm]

Hoffe, dass dies die Lösungen sind.

Würde mich über ein Feedback freuen.

MfG
crash24

Bezug
                        
Bezug
Ableitung von Exp-Funktionen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:52 Sa 10.06.2006
Autor: Arkus


> Hallo nochmal.
>  
> Für Aufgabe 2 habe ich die folgende Ableitung berechnet:
>  
> Stammfunktion war [mm]f(x) = x*e^x[/mm]
>  
> 1. Ableitung
>  
> [mm]f'(x) = 1 * e^x + x * e^x[/mm]
>  
> Hoffe, dass dies die Lösungen sind.
>  
> Würde mich über ein Feedback freuen.
>  
> MfG
>  crash24

[ok]

Auch hier kannst du noch zusammenfassen: [mm] $f'(x)=e^x \cdot [/mm] (1+x)$

MfG Arkus

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Bezug
Ableitung von Exp-Funktionen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:57 Sa 10.06.2006
Autor: crash24

@ Arkus

Vielen, vielen Dank!

Du hast mir sehr geholfen.

Wünsche Dir noch einen schönen Abend :-)

Gruß
crash24

Bezug
                                        
Bezug
Ableitung von Exp-Funktionen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:09 So 11.06.2006
Autor: Arkus

Ups eine Mitteilung hätte gereicht ;)

Gerngeschehen, wünsche dir ebenfalls ne Gute Nacht :)

MfG Arkus

Bezug
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