Ableitung x-te wurzel x < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
Ich soll die Ableitung von [mm] \wurzel[x]{x} [/mm] bestimmen.
Hab mir so gedacht, dass ich eventuell erst logarithmiere, dann ableite und dann delogarithmiere, nur komme ich beim Delogarithmieren nicht wirklich weiter.
Hier schonmal mein Ansatz:
[mm] ln\left(\wurzel[x]{x}\right) [/mm] = [mm] \ln\left(x^{\bruch{1}{x}}\right) [/mm] = [mm] \bruch{1}{x}\ln(x)
[/mm]
Ableitung:
[mm] -\bruch{1}{x^{2}}*\ln(x) [/mm] + [mm] \bruch{1}{x^{2}}
[/mm]
Wie kann ich das Ganze jetzt delogarithmieren? Oder ist der ganze Ansatz völliger schwachsinn und man bildet die Ableitung ganz anders?
Danke
mfg
Berndte
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:39 Do 26.05.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Berndte!
Dein Ansatz ist nicht zulässig, da Logarithmieren und Differentiation nicht vertauschbar sind.
Stattdessen musst du schreiben:
[mm] $\sqrt[x]{x} [/mm] = [mm] x^{\frac{1}{x}} [/mm] = [mm] e^{\frac{1}{x} \cdot \ln(x)}$
[/mm]
und jetzt mit Ketten- und Produktregel ableiten. 
Viele Grüße
Stefan
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Naja, irgendwas mit logarithmus dachte ich mir schon, wusste halt nur nicht wie :)
Die Lösung sollte sein:
[mm] \bruch{\wurzel[x]{x}}{x^{2}}*\left(1-\ln(x)\right)
[/mm]
Danke nochmal
mfg
Berndte
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