matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Hochschulmathe
  Status Uni-Analysis
    Status Reelle Analysis
    Status UKomplx
    Status Uni-Kompl. Analysis
    Status Differentialgl.
    Status Maß/Integrat-Theorie
    Status Funktionalanalysis
    Status Transformationen
    Status UAnaSon
  Status Uni-Lin. Algebra
    Status Abbildungen
    Status ULinAGS
    Status Matrizen
    Status Determinanten
    Status Eigenwerte
    Status Skalarprodukte
    Status Moduln/Vektorraum
    Status Sonstiges
  Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Algebra
    Status Zahlentheorie
  Status Diskrete Mathematik
    Status Diskrete Optimierung
    Status Graphentheorie
    Status Operations Research
    Status Relationen
  Status Fachdidaktik
  Status Finanz+Versicherung
    Status Uni-Finanzmathematik
    Status Uni-Versicherungsmat
  Status Logik+Mengenlehre
    Status Logik
    Status Mengenlehre
  Status Numerik
    Status Lin. Gleich.-systeme
    Status Nichtlineare Gleich.
    Status Interpol.+Approx.
    Status Integr.+Differenz.
    Status Eigenwertprobleme
    Status DGL
  Status Uni-Stochastik
    Status Kombinatorik
    Status math. Statistik
    Status Statistik (Anwend.)
    Status stoch. Analysis
    Status stoch. Prozesse
    Status Wahrscheinlichkeitstheorie
  Status Topologie+Geometrie
  Status Uni-Sonstiges

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenUni-SonstigesAbleitungen von Tensoren
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Informatik • Physik • Technik • Biologie • Chemie
Forum "Uni-Sonstiges" - Ableitungen von Tensoren
Ableitungen von Tensoren < Sonstiges < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Sonstiges"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Ableitungen von Tensoren: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:45 Mo 08.08.2016
Autor: sanadros

Aufgabe
Bestimmen Sie für $ [mm] \hat{w}(v) [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] (v * v)v $:

b) die Ableitung $ [mm] \bruch{\partial \hat{w}(v)}{\partial v} [/mm] $ für krummlinige Koordinaten,

$  [mm] \bruch{\partial \hat{w}(v)}{\partial v} [/mm] = [mm] \bruch{\partial \overline{w}^{k}(v^{b}, \theta^{q})}{\partial v^{m}} g_{k} \otimes g_{m} [/mm]  $

OK ich komme so weit dass wir folgendes haben:

$ [mm] \bruch{1}{2} [/mm] ( [mm] v_{m}v^{k} [/mm] + [mm] v_{m}v^{k} [/mm] + [mm] \delta^{k}_{m}v_{i}v^{i}) g_k \otimes g^m [/mm] $

aus dem erste Teil ohne Kroneker Delta erhält man ja $ v [mm] \otimes [/mm] v $ aber der hintere Teil soll nach Musterlösung $ [mm] \bruch{1}{2}(v*v) \I1 [/mm] $ herauskommen. In der Musterlösung fliegt jedoch das Kroneker Delta raus und man erhält $ [mm] \bruch{1}{2}(v_{i}v^{i}) g_k \otimes g^m [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}(v*v) \I1 [/mm] $. Nur ist mir nicht ganz klar wie man da drauf kommt.

        
Bezug
Ableitungen von Tensoren: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:32 Di 09.08.2016
Autor: Chris84

Huhu,
kannst du kurz sagen, wie ihr das Punktprodukt und das Tensorprodukt definiert habt!?

Wie verschiebt ihr Indizes von oben nach unten!?

Gruss,
Chris

Bezug
                
Bezug
Ableitungen von Tensoren: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:10 Mi 10.08.2016
Autor: sanadros

Also $ [mm] v*v:=v_{i}v_{i}:=v_{1}v_{1}+v_{2}v_{2}... [/mm] $

Dann das Tensorprodukt haben wie folgendermassen definiert:

$ (v [mm] \otimes [/mm] u) [a] := (u*a)v $

Heraufziehen von Indizes:

$ [mm] v^{i}=g^{ij}v_j [/mm] , [mm] g^{i}=g^{ij}g_j [/mm] $

Herunterziehen von Indizes:

$ [mm] v_{i}=g_{ij}v^j [/mm] , [mm] g_{i}=g_{ij}g^j [/mm] $

Wobei $ [mm] v_{i} [/mm] $ die Komponentent eines Vektors sind und $ [mm] g_{i} [/mm] $ die Basisvektoren sind. Und $ [mm] g_{ij} [/mm] $ die Metrikkoeffizienten sind.

Bezug
        
Bezug
Ableitungen von Tensoren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:43 So 14.08.2016
Autor: Chris84


> Bestimmen Sie für [mm]\hat{w}(v) = \bruch{1}{2} (v * v)v [/mm]:
>  
> b) die Ableitung [mm]\bruch{\partial \hat{w}(v)}{\partial v}[/mm]
> für krummlinige Koordinaten,
>  
> [mm]\bruch{\partial \hat{w}(v)}{\partial v} = \bruch{\partial \overline{w}^{k}(v^{b}, \theta^{q})}{\partial v^{m}} g_{k} \otimes g_{m} [/mm]
>  
> OK ich komme so weit dass wir folgendes haben:
>  
> [mm]\bruch{1}{2} ( v_{m}v^{k} + v_{m}v^{k} + \delta^{k}_{m}v_{i}v^{i}) g_k \otimes g^m[/mm]
>  
> aus dem erste Teil ohne Kroneker Delta erhält man ja [mm]v \otimes v[/mm]
> aber der hintere Teil soll nach Musterlösung
> [mm]\bruch{1}{2}(v*v) \I1[/mm] herauskommen. In der Musterlösung
> fliegt jedoch das Kroneker Delta raus und man erhält
> [mm]\bruch{1}{2}(v_{i}v^{i}) g_k \otimes g^m = \bruch{1}{2}(v*v) \I1 [/mm].
> Nur ist mir nicht ganz klar wie man da drauf kommt.

Da sich sonst keiner meldet, versuche ich es mal (bin aber kein Experte, was Tensoren angeht):

1. Sicher, dass [mm] $a\cdot [/mm] b = [mm] a_i b_i$ [/mm] ist und nicht [mm] $a_i b^i$. [/mm] Ich frage, da der Term [mm] $v_i v^i$ [/mm] ja zu [mm] $v\cdot [/mm] v$ werden soll? (Ist vermutlich nur 'ne Definitionssache.)

2. Du hast Recht: [mm] $\delta^k_m$ [/mm] kann (schon wegen der Dimension) nicht verschwinden. Vielmehr muss es

[mm] $\delta^k_m g_k \otimes g^m [/mm] = [mm] g_m \otimes g^m$ [/mm]

lauten (einfach mal die Summe ausschreiben).

Dann ergibt die Summe der Tensorprodukte gerade die Einheitsmatrix (das war mir auch nicht ganz klar: Ist die 1 in [mm] $(v\cdot [/mm] v)1$ die Einheitsmatrix?) Ich denke da an sowas wie beim[]  dyadischen Produkt. In deinem Fall ergibt [mm] $g_m\otimes g^m$ [/mm] gerade eine Einsmatrix mit [mm] $1\in\IR$ [/mm] auf einem Diagonalelement und die Summe ueber verschiedener solcher Einsmatrizen gerade die Einheitsmatrix.

Hilft das?

Gruss,
Chris

Bezug
                
Bezug
Ableitungen von Tensoren: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 08:13 Sa 20.08.2016
Autor: sanadros

Ja Danke das Hilft schon mal. Ja die $  [mm] \I1 [/mm] $ ist die Einheitsmatrix (und nicht die Einsmatrix). Das Skalarprodukt haben wir vor dem Herauf und Herunterziehen von Vektorkomponente kennen gelernt daher die Definition wie ich sie aus den den Aufzeichnungen abgeschrieben habe.

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Sonstiges"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.unimatheforum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]