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Wie komme ich auf diese Abschätzung? s ist komplex. In meinem Buch steht, mit dem Mittelwertsatz. Aber der gilt doch für komplexe s gar nicht?!
[mm] \left| n^{-s}-(n+1)^{-s} \right| [/mm] = [mm] \left| s \cdot \int \limits_{n}^{n+1} x^{-s-1}\cdot dx \right| \leq [/mm] |s| [mm] \cdot n^{-\sigma-1}
[/mm]
Wäre wirklich toll, wenn mir jemand helfen könnte. DANKE schonmal...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:30 Do 10.12.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Wie komme ich auf diese Abschätzung? s ist komplex. In
> meinem Buch steht, mit dem Mittelwertsatz. Aber der gilt
> doch für komplexe s gar nicht?!
> [mm]\left| n^{-s}-(n+1)^{-s} \right|[/mm] = [mm]\left| s \cdot \int \limits_{n}^{n+1} x^{-s-1}\cdot dx \right| \leq[/mm]
> |s| [mm]\cdot n^{-\sigma-1}[/mm]
Ein Mittelwertsatz wird hier auch gar nicht benutzt. Fuer das erste Gleichheitszeichen rechnest du das Integral explizit aus; fuer das zweite Gleichheitszeichen ueberlegst du dir, dass [mm] $|x^{-s-1}| \le n^{-\sigma-1}$ [/mm] gilt fuer $x [mm] \in [/mm] [n, n+1]$, und benutzt [mm] $|\int_a^b [/mm] f(x) dx| [mm] \le \int_a^b [/mm] |f(x)| dx [mm] \le [/mm] (b - a) [mm] \sup_{x \in [a, b]} [/mm] |f(x)|$.
LG Felix
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