Abstand Urspr. zu Ebene < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:24 Mo 13.07.2009 | | Autor: | n0000b |
| Aufgabe | Die Ebene E des [mm] $\IR^{3}$ [/mm] sei durch die Gleichung x + y/2 + z/2 = 1 beschrieben .
Bestimmen Sie
a) den Abstand des Ursprungs O von E .
b) den Fußpunkt des Lots von O auf die Ebene E . |
Hallo,
es geht um das Verständnis dieser Aufgabe:
[mm] $E=x+\bruch{y}{2}+\bruch{z}{2}=1$
[/mm]
[mm] $\vec{x}=\vektor{2 \\ 1 \\ 1}$
[/mm]
[mm] $\vektor{2 \\ 1 \\ 1}\cdot{}\vec{x}-2=0$
[/mm]
Soweit ist noch alles klar. Jetzt kommt der Teil, den ich nicht verstehe. Kann mir da jmd. helfen?
[mm] $\vektor{2 \\ 1 \\ 1}\cdot{}\vec{x}-2=0$ |\cdot{}\bruch{1}{|\vec{n}|}
[/mm]
[mm] $|\vec{n}|=\wurzel{2^2+1^2+1^2}=\wurzel{6}$
[/mm]
[mm] $\vektor{\bruch{2}{\wurzel{6}} \\ \bruch{1}{\wurzel{6}} \\ \bruch{1}{\wurzel{6}}}\cdot{}\lambda\vektor{\bruch{2}{\wurzel{6}} \\ \bruch{1}{\wurzel{6}} \\ \bruch{1}{\wurzel{6}}}-\bruch{2}{\wurzel{6}}=0$
[/mm]
[mm] $\lambda=\bruch{2}{\wurzel{6}}$
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:31 Mo 13.07.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Die Ebene E des [mm]\IR^{3}[/mm] sei durch die Gleichung x + y/2 +
> z/2 = 1 beschrieben .
> Bestimmen Sie
> a) den Abstand des Ursprungs O von E .
> b) den Fußpunkt des Lots von O auf die Ebene E .
> Hallo,
>
> es geht um das Verständnis dieser Aufgabe:
>
> [mm]E=x+\bruch{y}{2}+\bruch{z}{2}=1[/mm]
>
> [mm]\vec{x}=\vektor{2 \\ 1 \\ 1}[/mm]
>
> [mm]\vektor{2 \\ 1 \\ 1}\cdot{}\vec{x}-2=0[/mm]
>
> Soweit ist noch alles klar. Jetzt kommt der Teil, den ich
> nicht verstehe. Kann mir da jmd. helfen?
>
> [mm]\vektor{2 \\ 1 \\ 1}\cdot{}\vec{x}-2=0[/mm]
> [mm]|\cdot{}\bruch{1}{|\vec{n}|}[/mm]
> [mm]|\vec{n}|=\wurzel{2^2+1^2+1^2}=\wurzel{6}[/mm]
>
> [mm]\red{\vektor{\bruch{2}{\wurzel{6}} \\ \bruch{1}{\wurzel{6}} \\ \bruch{1}{\wurzel{6}}}\cdot{}\lambda\vektor{\bruch{2}{\wurzel{6}} \\ \bruch{1}{\wurzel{6}} \\ \bruch{1}{\wurzel{6}}}-\bruch{2}{\wurzel{6}}=0}[/mm]
>
> [mm]\lambda=\bruch{2}{\wurzel{6}}[/mm]
ihr habt ja zunächst die Ebene in die Form
[mm] $$(\star)\;\;E:\;\;\;\vektor{2 \\ 1 \\ 1}\cdot{}\vec{x}-2=0$$
[/mm]
gebracht. Der Vektor [mm] $\vec{n}=\vektor{2 \\ 1 \\ 1}$ [/mm] ist hier aber noch nicht normiert [mm] ($|\vec{n}|=\sqrt{2^2+1^2+1^2}=\sqrt{6} \not=1$), [/mm] so dass [mm] $(\star)$ [/mm] noch nicht in der ![[]](/images/popup.gif) Hesseschen Normalform ist. Um diese zu erhalten, müßte [mm] $\vec{n}$ [/mm] normiert werden. Einen Vektor [mm] $\vec{n} \not=\vec{0}$ [/mm] kann man normieren, indem man ihn durch seine Länge [mm] $|\vec{n}|=\|\vec{n}\|_2$ [/mm] teilt (wobei für [mm] $\vec{n}=\vektor{n_1\\n_2\\n_3}$ [/mm] gilt [mm] $\|\vec{n}\|_2=\sqrt{n_1^2+n_2^2+n_3^2}$), [/mm] also
[mm] $$\vec{n}_0:=\frac{\vec{n}}{|\vec{n}|}$$
[/mm]
ins Spiel bringt. Deswegen wurde oben bei [mm] $(\star)$ [/mm] auf beiden Seiten der Gleichung mit [mm] $\frac{1}{|\vec{n}|}=\frac{1}{\sqrt{2^2+1^2+1^2}}=\frac{1}{\sqrt{6}}$ [/mm] multipliziert, d.h.
[mm] $$(\star\star)\;\;\;E:\;\;\;\vektor{\bruch{2}{\wurzel{6}} \\ \bruch{1}{\wurzel{6}} \\ \bruch{1}{\wurzel{6}}}\cdot{}\vec{x}-\bruch{2}{\wurzel{6}}=0$$
[/mm]
ist in der Hesseschenen Normalform.
Wenn Du nun diese Bemerkung liest, dann erkennst Du, dass Du, für den Abstand $|s|$ [mm] $(\star \star \star)$ [/mm] des Punktes [mm] $\vec{0}=\vektor{0\\0\\0}$ [/mm] zu bestimmen, nur [mm] $\vec{0}$ [/mm] in [mm] $(\star \star)$ [/mm] in die linke Seite dort einzusetzen brauchst:
Es ergibt sich [mm] $s=\vektor{\bruch{2}{\wurzel{6}} \\ \bruch{1}{\wurzel{6}} \\ \bruch{1}{\wurzel{6}}}\cdot{}\vektor{0\\0\\0}-\bruch{2}{\wurzel{6}}=-\frac{2}{\sqrt{6}}\,,$
[/mm]
so dass [mm] $|s|=\frac{2}{\sqrt{6}}$ [/mm] den Abstand des Nullpunktes zur Ebene angibt.
Bemerkung [mm] $(\star \star \star)$:
[/mm]
In Wiki steht dort [mm] $s\,,$ [/mm] aber dort ist es dann eigentlich schlecht, [mm] $s\,$ [/mm] als Abstand zu bezeichnen... der Grund, dass dieses [mm] $s\,$ [/mm] aus Wiki auch negative Vorzeichen hat liegt darin, dass die Ebene den [mm] $\IR^3$ [/mm] in zwei Halbräume zerlegt und mit dem Vorzeichen des [mm] $s\,$ [/mm] aus Wiki erkennt man, in welchem dieser beiden der betrachtete Punkt liegt!
P.S.:
Welche Überlegungen hast du zum Teil b)? Ist Dir da alles klar, oder wurde da auch etwas vorgerechnet, ohne die Rechnung zu begründen? Ich finde "kommentarloses Rechnen" immer etwas gefährlich, denn dann muss man sich die Argumente selber zusammensuchen, und das fällt nicht jedem ganz so leicht...
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:11 Mo 13.07.2009 | | Autor: | n0000b |
Ok, ich frage jetzt mal ganz blöd.
Wir haben jetzt ja quasi die Länger einer Geraden berechnet, oder?
Dann müssten wir bei b) doch den Schnittpunkt der Geraden mit der Ebene berechnen?
Nur wie macht man das?
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Hallo n0000b,
> Ok, ich frage jetzt mal ganz blöd.
>
> Wir haben jetzt ja quasi die Länger einer Geraden
> berechnet, oder?
>
> Dann müssten wir bei b) doch den Schnittpunkt der Geraden
> mit der Ebene berechnen?
>
> Nur wie macht man das?
In die Ebenengleichung hast Du die Gerade
[mm]g:\overrightarrow{x}=\lambda*\bruch{1}{\vmat{n}}*\overrightarrow{n}[/mm]
eingesetzt.
Daher ergibt sich der Schnittpunkt mit der Ebene zu:
[mm]\lambda*\bruch{1}{\vmat{n}}*\overrightarrow{n}[/mm]
mit dem von Dir errechneten [mm]\lambda[/mm]
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:54 Mo 13.07.2009 | | Autor: | n0000b |
Alles klar,
dann bekomme ich [mm] $\vec{F}=\vektor{\bruch{2}{3} \\ \bruch{1}{3} \\ \bruch{1}{3}}$
[/mm]
Vielen Dank.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:05 Mo 13.07.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo Mathepower,
> > Ok, ich frage jetzt mal ganz blöd.
> >
> > Wir haben jetzt ja quasi die Länger einer Geraden
> > berechnet, oder?
> >
> > Dann müssten wir bei b) doch den Schnittpunkt der Geraden
> > mit der Ebene berechnen?
> >
> > Nur wie macht man das?
>
>
> In die Ebenengleichung hast Du die Gerade
>
> [mm]g:\overrightarrow{x}=\lambda*\bruch{1}{\vmat{n}}*\overrightarrow{n}[/mm]
>
> eingesetzt.
damit erklärt sich dann die rotmarkierte Gleichung in meiner ersten Antwort. Hätte ich auch sehen sollen, dass das zum Teil b) gehört, aber manchmal sieht man den Wald aber auch vor lauter Bäumen nicht mehr. 
> Daher ergibt sich der Schnittpunkt mit der Ebene zu:
>
> [mm]\lambda*\bruch{1}{\vmat{n}}*\overrightarrow{n}[/mm]
>
> mit dem von Dir errechneten [mm]\lambda[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:31 Mo 13.07.2009 | | Autor: | Roadrunner |
Hallo n0000b!
> Wir haben jetzt ja quasi die Länger einer Geraden
> berechnet, oder?
Die Länge einer Geraden ist unendlich. Längen kann man aber z.B. von einer Strecke bestimmen.
Gruß vom
Roadrunner
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