Abstandsberechnung Punkt Gerad < Längen+Abst.+Winkel < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | [mm] \vec{x}(t) [/mm] = [mm] \vektor{100 \\ - 2550 \\ 228,75} [/mm] + t [mm] \cdot \vektor{-0,1 \\ 22 \\ -1,5}
[/mm]
b) Bestimmen Sie den Abstand der Flugbahn von der (näherungsweise als punktförmig betrachteten) Flugsicherung in F(0|0|8 ) |
Hi.
Ich hab das Problem nun so geloest: Die Gerade ist ja in einer Parameterform, da ich beim Abstand prinzipiell eigentlich nur mit Koordinatenform klar komme habe ich das mal umgestellt:
Soweit ich mich erinner nimmt man dann einfach den Richtungsvektor als Normalenvektor:
-0,1x1 + 22x2 -1,5x3 + d = 0
D hab ich dann mittels einsetzen bestimmt:
-0,1x1 + 22x2 -1,5x3 + 56453,125 = 0
Ist das so legitim?
Danach habe ich einfach diese Formel benutzt:
d = [mm] \bruch{-0,1x1 + 22x2 -1,5x3 + 56453,125}{Betrag von Vektor n}
[/mm]
Einfach den Punkt 0 0 8 eingesetzt und ausgerechnet... darf ich das so machen?
Und falls nein: Koennte mir jemand mal erklaeren wie man auf die beste Weise Abstaende bei Geraden berechnet... die Form im Formelbuch finde ich ein bischen verwirrend... waere sehr dankbar deswegen.
MFG Tim
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:45 Di 10.04.2007 | | Autor: | Mary15 |
> [mm]\vec{x}(t)[/mm] = [mm]\vektor{100 \\ - 2550 \\ 228,75}[/mm] + t [mm]\cdot \vektor{-0,1 \\ 22 \\ -1,5}[/mm]
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> b) Bestimmen Sie den Abstand der Flugbahn von der
> (näherungsweise als punktförmig betrachteten) Flugsicherung
> in F(0|0|8 )
> Hi.
> Ich hab das Problem nun so geloest: Die Gerade ist ja in
> einer Parameterform, da ich beim Abstand prinzipiell
> eigentlich nur mit Koordinatenform klar komme habe ich das
> mal umgestellt:
>
> Soweit ich mich erinner nimmt man dann einfach den
> Richtungsvektor als Normalenvektor:
>
> -0,1x1 + 22x2 -1,5x3 + d = 0
Hallo,
das darft du nicht. Richtungsvektor ist nicht gleich Normalenvektor. Das Skalarprodukt von beiden Vektoren ist gleich 0, da diese Vektoren orthogonal zueinander sind.
Also : [mm] -0,1*n_{1} [/mm] + [mm] 22*n_{2} [/mm] + [mm] (-1,5)*n_{3} [/mm] = 0
zwei Koordinaten wählen und die dritte bestimmen:
z.B. [mm] n_{1} [/mm] = 10 [mm] n_{3} [/mm] = 8 [mm] \Rightarrow [/mm] -10 [mm] +22n_{2}-12 [/mm] =0
[mm] 22n_{2} [/mm] = 22
[mm] n_{2} [/mm] = 1
[mm] \overrightarrow{n} [/mm] = [mm] \vektor{10 \\ 1 \\ 8}
[/mm]
>
> D hab ich dann mittels einsetzen bestimmt:
>
> -0,1x1 + 22x2 -1,5x3 + 56453,125 = 0
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:47 Sa 14.04.2007 | | Autor: | z3r4t4r |
Du brauchst keine Normalenform der Gerade zu berechnen. Im Übrigen ist das auch nicht möglich, da es für eine Gerade unendlich viele Normalenvektoren gibt, falls sich diese im V³ befindet.
Als erstes musst du bei der Abstandsbestimmung von Punkt und Geraden den Lotfußpunkt ausmachen.
Dass ist der Punkt, auf welchem das Lot von Gerade zu Punkt steht. Das Lot steht senkrecht auf der Geraden und verbindet Punkt und Gerade an der nahsten Stelle der Geraden.
über den Lotfußpunkt weißt du, dass sich dieser auf der Gerade befindet also kannst du die Koordinaten so angeben:
F(100-0,1*t / -2550+22*t / 228,75-1,5*t)
Außerdem weißt du, dass das Lot senkrecht auf der Geraden steht also folgt daraus:
[ [mm] \vektor{100-0,1*t \\ -2550+22*t \\ 228,75-1,5*t} [/mm] - [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 8} [/mm] ] * [mm] \vektor{-0,1 \\ 22 \\ -1,5} [/mm] = 0
Ausgerechnet:
-10+0,01*t-56100+484*t-331,125+2,25*t=0
<=> t=116,072
Damit hast du dann den Lotfußpunkt so gut wie bestimmt... Nur noch einsetzen in die Geradengleichung und du erhälst den Lotfußpunkt:
[mm] \vektor{100 \\ -2550 \\ 228,75} [/mm] + 116,072* [mm] \vektor{-0,1 \\ 22 \\ -1,5} [/mm] = [mm] \vektor{88,39 \\ 3,58 \\ 54,64}
[/mm]
Danach musst du den Vektoren bestimmen, welcher vom Lotfußpunkt zum Punkt F zeigt:
[mm] \vektor{88,39 \\ 3,58 \\ 54,64} [/mm] - [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 8} [/mm] = [mm] \vektor{88,39 \\ 3,58 \\ 46,64}
[/mm]
Dann musst du die Länge dieses Vektors bestimmen:
[mm] \wurzel{88,39²+3,58²+46,64²} [/mm] = 100 ,
was dann auch der Abstand von Flugzeug und Turm ist.
MfG z3r4t4r
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:56 Sa 14.04.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
es gibt auch noch die "Formel"
[mm] d=|\vec{u}^0 \times(\vec{p}-\vec{a})|
[/mm]
[mm] \vec{u}^0 [/mm] ist der normierte Richtungsvektor der Geraden
[mm] \vec{p} [/mm] ist der Vektor vom Ursprung zum Punkt P, von dem man den Abstand zur Geraden messen soll
[mm] \vec{a} [/mm] ist der Stützvektor der Geraden.
Die Formel kann man herleiten, indem man über die Definition des Kreuzproduktes geht, und sich mal einige Flächen ansieht.
Liebe Grüße,
Kroni
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