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Die in der Uni habens mit der Additionstheoreme. Diese Aufgabe ist mir mal wieder ein vollkommenes Rätsel. Vielleicht könnt ihr mir einen Tipp oder Ansatz geben.
Zeigen sie unter Verwendung der komplexen Exponentialfkt. und der Euler'schen Formel die Gültigkeit der Additionstheoreme für sin(3x) und cos(3x)
LG wenbockts
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:09 Mi 30.11.2005 | | Autor: | kunzm |
Hallo,
die Additionstheoreme sind ja klar, oder?
[mm] \sin(a\pm b)=\sin(a)\cos(b)\pm \cos(a)\sin(b)[/mm]
[mm]\cos(a+b)=\cos(a)\cos(b)-\sin(a)\sin(b)[/mm]
bzw
[mm]\cos(a-b)=\cos(a)\cos(b)+\sin(a)\sin(b)[/mm]
Die Eulerformel sagt im Prinzip, dass:
[mm]\exp(\pm ia)=\cos(a)\pm i\sin(a)[/mm]
Allerdings verstehe ich jetzt nicht ganz, wie du ein Additionstheorem auf [mm] \sin(3x) [/mm] anwenden willst, oder ist das anders gemeint?
Gruß, Martin
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:56 Do 01.12.2005 | | Autor: | zwerg |
Tach wenbockts!
Werd dir das für cos(3x) mal aufschreiben für sin(3x) musste dann selbst tüfteln:
es gilt:
[mm] e^{ix}=cos(x)+i*sin(x)
[/mm]
[mm] e^{-ix}=cos(x)-i*sin(x)
[/mm]
[mm] e^{i3x}=e^{ix}*e^{ix}*e^{ix}=(cos(x)+i*sin(x))^{3}
[/mm]
[mm] \to
[/mm]
[mm] e^{i3x}+e^{-i3x}=2*cos(3x) \to [/mm]
[mm] cos(3x)=\bruch{1}{2}(e^{i3x}+e^{-i3x})=\bruch{1}{2}[(cos(x)+i*sin(x))^{3}+(cos(x)-i*sin(x))^{3}]
[/mm]
von nun an sei a=cos(x) und b=sin(x) [mm] \to
[/mm]
[mm] cos(3x)=\bruch{1}{2}[(a+ib)^{3}+(a-ib)^{3}]
[/mm]
nun unter Beachtung von [mm] i^{2}=(-1) [/mm] und [mm] i^{3}=(-i) [/mm] Potenzen "lösen" (Pascalsches Dreieck) [mm] \to
[/mm]
[mm] cos(3x)=\bruch{1}{2}(2a^{3}-6ab^{2})=[cos(x)]^{3}-3[cos(x)(sin(x))^{2}]
[/mm]
mit [mm] sin^{2}(x)=1-cos^{2}(x) [/mm] folgt:
[mm] cos(3x)=cos^{3}(x)-3[cos(x)(1-cos^{2}(x))]=4*cos^{3}(x)-3*cos(x)
[/mm]
also [mm] cos(3x)=4*cos^{3}(x)-3*cos(x)
[/mm]
hoffe daraus wirst du schlauer
MfG
saxneat
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