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Adjungierten Darstellung ad: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:07 So 02.01.2011
Autor: Chichisama

Ich bin gerade dabei den Beweis zum 1. Cartan-Kriterium zu verstehen und komme soweit ganz gut voran. Nun frage ich mich aber, warum aus der Auflösbarkeit von L (L ist Lie-Algebra) die Auflösbarkeit von adL folgt. Gilt das, weil adL eine Unteralgebra von L ist??
        
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Adjungierten Darstellung ad: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:41 So 02.01.2011
Autor: pelzig

Das gilt weil die Bilder von auflösbaren LA unter LA-Homomorphismen immer auflösbar sind. Man kann nämlich induktiv zeigen, dass jeden einen LA-Hom [mm]\varphi:L\to L'[/mm] gilt [mm]\varphi(L)^{(k)}\subset\varphi(L^{(k)})[/mm].

Gruß, Robert

Bezug
                
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Adjungierten Darstellung ad: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:46 So 02.01.2011
Autor: Chichisama

Vielen Dank, Robert! Du hast mir sehr geholfen!
Gruß, Tine
Bezug
                
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Adjungierten Darstellung ad: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:07 So 02.01.2011
Autor: Chichisama

Gilt auch die Umkehrung? D.h. folgt aus der Auflösbarkeit von adL immer die Auflösbarkeit von L?
Bezug
                        
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Adjungierten Darstellung ad: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:20 So 02.01.2011
Autor: pelzig

Ja, L ist auflösbar bzw. nilpotent, genau dann wenn das Bild der adjungierten Darstellung auflösbar bzw. nilpotent ist.

Gruß, Robert

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Adjungierten Darstellung ad: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:22 So 02.01.2011
Autor: Chichisama

Danke für deine Hilfe!! :)

Gruß, Tine
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