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Affine Abb. Verständnisfragen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:11 Mo 12.08.2019
Autor: Annkathrin20

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.



Guten Abend :-)

Seit heute morgen quäle ich mich damit

Seit heute morgen quäle ich mich damit, die ersten Seiten meines Skripts zu verstehen (Affine Geometrie). Ich verstehe einfach den kleinen Abschnitt zu affinen Abbildungen nicht, bzw. kann mir nichts darunter vorstellen...


Im Skript steht:


________________________________________________________________________________________________________


2.1.1 Affine Abbildungen



Eine Abbildung $f: [mm] \mathbb{A}(V) \rightarrow \mathbb{A}(V')$ [/mm] ist affin, wenn es ein [mm] $\mathbb{K}$ [/mm] - lineares [mm] $Jac_{f}: [/mm] V [mm] \rightarrow [/mm] V'$ gibt, so dass [mm] $\overrightarrow{f(P) f(Q)} [/mm] = [mm] Jac_{f}(\overrightarrow{PQ})$ [/mm] für alle $P, Q [mm] \in \mathbb{A}(V)$ [/mm]


Äquivalent: $f(P + v) = f(P) + [mm] Jac_{f}(v)$ [/mm] für alle $P [mm] \in \mathbb{A}(V), [/mm] v [mm] \in [/mm] V$. (1)

Die Verkettung affiner Abbildungen ist affin. (2)

Es gilt: $f) injektiv (surjektiv, bijektiv) [mm] $\Leftrightarrow$ $Jac_{f}$ [/mm] injektiv (surjektiv, bijektiv). (3)

Wenn $f$ bijektiv ist, heißt $f$ affiner Isomorphismus. In diesem Fall ist [mm] $f^{-1}$ [/mm] affin. (4)

Eine bijektive, affine Selbstabbildung $f: [mm] \mathbb{A}(V) \rightarrow \mathbb{A}(V)$ [/mm] heißt Affinität (5)



________________________________________________________________________________________________________



Dazu habe ich ein paar Fragen:




1. Frage
________

Wir haben eine Abbildung $f: [mm] \mathbb{A}(V) \rightarrow \mathbb{A}(V')$ [/mm] gegeben. Der Unterschied zwischen [mm] $\mathbb{A}(V)$ [/mm] und [mm] $\mathbb{A}(V')$ [/mm] ist nur, dass zwei verschiedene Vektorräume auf der selben Menge $A$ operieren, oder?

Ich bin generell verwirrt durch die Schreibweise $ [mm] \mathbb{A}(V)$. [/mm] Was schreibt man das so? Hat diese Notation einen tieferen Sinn?


2. Frage
_________


Sind die zwei Mengen [mm] $\mathbb{A}(V)$ [/mm] und [mm] $\mathbb{A}(V')$ [/mm] gleich ? Ich meine schon, da $V'$ und $V$ ja auf der selben Menge $A$ operieren. Da macht es keinen Unterschied, ob $V'$ größer ist als $V$, stimmts?

Oder muss aus irgend einem Grund $V$ genau so groß sein wie $V'$ ?



Ist die Abbildung $f: [mm] \mathbb{A}(V) \rightarrow \mathbb{A}(V')$ [/mm] bijektiv? Ich weiß das leider nicht. Ich vermute ja, aber könnte das nicht begründen.




3. Frage
________

Die Abbildung $f$ ist also affin, wenn ich es schaffe, eine Abbildung [mm] $Jac_{f}$ [/mm] zu finden, die die Eigenschaft

[mm] $\overrightarrow{f(P) f(Q)} [/mm] = [mm] Jac_{f}(\overrightarrow{PQ})$ [/mm] für alle $P, Q [mm] \in \mathbb{A}(V)$ [/mm]


Aber es können bestimmt auch mehrere dieser  Abbildungen [mm] $Jac_{f}$ [/mm]  geben, oder nicht? Es gibt also nicht die eine Abbildung [mm] $Jac_{f}$. [/mm]


Wenn ich darüber nachdenke, ist das eine sehr starke Einschränkung.

Trotzdem frage ich mal, ob es eine affine Abbildung $f: [mm] \mathbb{A}(V) \rightarrow \mathbb{A}(V')$ [/mm]  gibt und eine [mm] $\mathbb{K}$ [/mm] - lineare Abbildung $g: V [mm] \rightarrow [/mm] V'$, die die Eigenschaft  [mm] $\overrightarrow{f(P) f(Q)} [/mm] = [mm] Jac_{f}(\overrightarrow{PQ})$ [/mm] für alle $P, Q [mm] \in \mathbb{A}(V)$ [/mm] nicht erfüllt?


Mir ist klar, dass es davon vermutlich sehr viele geben wird, aber ich tu mir gerade schwer, mir ein solches Beispiel zu konstruieren. Ich habe schon Mühe, die Beispiele für eine solche Abb. [mm] $Jac_{f}$ [/mm] im Skript zu verstehen...


4. Frage
________


Wofür steht eigentlich die Abkürzung [mm] $Jac_{f}$ [/mm] ? Hat diese Schreibweise eine tiefere Bedeutung, oder was will mein Prof damit andeuten?



5. Frage
________


Die letzte Frage von mir wäre, warum (1) und (3) gelten?

Was kann man das geometrisch interpretieren?

Ich meine, für mich macht es schon Sinn, dass (3) gilt, aber ich habe keine saubere Begründung dafür, bzw. ich könnte das niemandem erklären, wenn mich jemand danach fragt.






So, das war's. Ich hoffe, mir kann dabei jemand helfen. Das würde echt sehr helfen :-)


Einen schönen Abend noch,

Anni


        
Bezug
Affine Abb. Verständnisfragen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:13 Di 13.08.2019
Autor: hippias

[willkommenvh]
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>  
>
>
> Guten Abend :-)
>
> Seit heute morgen quäle ich mich damit
>  
> Seit heute morgen quäle ich mich damit, die ersten Seiten
> meines Skripts zu verstehen (Affine Geometrie). Ich
> verstehe einfach den kleinen Abschnitt zu affinen
> Abbildungen nicht, bzw. kann mir nichts darunter
> vorstellen...
>  
>
> Im Skript steht:
>  
>
> ________________________________________________________________________________________________________
>  
>
> 2.1.1 Affine Abbildungen
>
>
> Eine Abbildung [mm]f: \mathbb{A}(V) \rightarrow \mathbb{A}(V')[/mm]
> ist affin, wenn es ein [mm]\mathbb{K}[/mm] - lineares [mm]Jac_{f}: V \rightarrow V'[/mm]
> gibt, so dass [mm]\overrightarrow{f(P) f(Q)} = Jac_{f}(\overrightarrow{PQ})[/mm]
> für alle [mm]P, Q \in \mathbb{A}(V)[/mm]
>  
>
> Äquivalent: [mm]f(P + v) = f(P) + Jac_{f}(v)[/mm] für alle [mm]P \in \mathbb{A}(V), v \in V[/mm].
> (1)
>  
> Die Verkettung affiner Abbildungen ist affin. (2)
>  
> Es gilt: $f) injektiv (surjektiv, bijektiv)
> [mm]$\Leftrightarrow$ $Jac_{f}$[/mm] injektiv (surjektiv, bijektiv).
> (3)
>  
> Wenn [mm]f[/mm] bijektiv ist, heißt [mm]f[/mm] affiner Isomorphismus. In
> diesem Fall ist [mm]f^{-1}[/mm] affin. (4)
>  
> Eine bijektive, affine Selbstabbildung [mm]f: \mathbb{A}(V) \rightarrow \mathbb{A}(V)[/mm]
> heißt Affinität (5)
>  
>
>
> ________________________________________________________________________________________________________
>  
>
>
> Dazu habe ich ein paar Fragen:
>  
>
>
>
> 1. Frage
>  ________
>  
> Wir haben eine Abbildung [mm]f: \mathbb{A}(V) \rightarrow \mathbb{A}(V')[/mm]
> gegeben. Der Unterschied zwischen [mm]\mathbb{A}(V)[/mm] und
> [mm]\mathbb{A}(V')[/mm] ist nur, dass zwei verschiedene Vektorräume
> auf der selben Menge [mm]A[/mm] operieren, oder?
>  
> Ich bin generell verwirrt durch die Schreibweise
> [mm]\mathbb{A}(V)[/mm]. Was schreibt man das so? Hat diese Notation
> einen tieferen Sinn?
>  
>
> 2. Frage
>  _________
>  
>
> Sind die zwei Mengen [mm]\mathbb{A}(V)[/mm] und [mm]\mathbb{A}(V')[/mm]
> gleich ? Ich meine schon, da [mm]V'[/mm] und [mm]V[/mm] ja auf der selben
> Menge [mm]A[/mm] operieren. Da macht es keinen Unterschied, ob [mm]V'[/mm]
> größer ist als [mm]V[/mm], stimmts?
>  
> Oder muss aus irgend einem Grund [mm]V[/mm] genau so groß sein wie
> [mm]V'[/mm] ?  
>  
>
>
> Ist die Abbildung [mm]f: \mathbb{A}(V) \rightarrow \mathbb{A}(V')[/mm]
> bijektiv? Ich weiß das leider nicht. Ich vermute ja, aber
> könnte das nicht begründen.
>  

Zu den ersten beiden Fragen

Das solltest Du Dir selbst mit Hilfe des Skriptes beantworten können. Wenn Du möchtest,kannst Du natürlich die Definition von [mm] $\mathbb{A}(V)$ [/mm] hier einstellen, damit wir sie durchgehen können.

Ich vermute, dass die Grundmengen in [mm] $\mathbb{A}(V)$ [/mm] und [mm] $\mathbb{A}(V')$ [/mm] nicht gleich sein müssen, denn eine solche Einschränkung ist hier überflüssig.

Die Frage, warum diese Bezeichnung gewählt wurde, ist sicher metamathematisch (also "uninteressant" :-)). Sie informiert uns aber sofort über das wesentliche: $V$ bzw. $V'$ ist der Vektorraum des affinen Raumes.

Die Mengen, wie Du schreibst, [mm] $\mathbb{A}(V)$ [/mm] und [mm] $\mathbb{A}(V')$ [/mm] sind i.a. nicht gleich; es sind höchstwahrscheinlich nicht einmal Mengen. Ohne eure Definition gesehen zu haben, vermute ich stark, dass [mm] $\mathbb{A}(V)$ [/mm] für ein Tupel, also keine Menge, wie $(A,V,+)$ steht, wobei $A$ Punktmenge, $V$ Vektorraum und $+$ die Operation von $V$ auf $A$ beschreibt.
Selbst wenn die Grundmenge identisch sind, liefern verschiedene Vektorräume verschiedene affine Räume (die aber isomorph sein könnten).

Schliesslich ist eine beliebige affine Abbildung nicht automatisch bijektiv.  

>
>
>
> 3. Frage
>  ________
>  
> Die Abbildung [mm]f[/mm] ist also affin, wenn ich es schaffe, eine
> Abbildung [mm]Jac_{f}[/mm] zu finden, die die Eigenschaft
>  
> [mm]\overrightarrow{f(P) f(Q)} = Jac_{f}(\overrightarrow{PQ})[/mm]
> für alle [mm]P, Q \in \mathbb{A}(V)[/mm]
>  

Ja.

>
> Aber es können bestimmt auch mehrere dieser  Abbildungen
> [mm]Jac_{f}[/mm]  geben, oder nicht? Es gibt also nicht die eine
> Abbildung [mm]Jac_{f}[/mm].

Eine sehr gute Frage! Nur Deine Vermutung ist falsch: [mm] $Jac_{f}$ [/mm] ist durch $f$ tatsächlich eindeutig festgelegt.

Sei [mm] $f:\mathbb{A}(V)\to \mathbb{A}(V')$ [/mm] eine affine Abbildung. Seien [mm] $\alpha,\beta:V\to [/mm] V'$ lineare Abbildungen mit
$f(P+v)= [mm] f(P)+\alpha(v)= f(P)+\beta(v)$ [/mm] für alle [mm] $P\in [/mm] A$ und alle [mm] $v\in [/mm] V$. Daraus kannst Du leicht folgern, dass [mm] $\alpha= \beta$ [/mm] sein muss. Versuche es mal!

>
>
> Wenn ich darüber nachdenke, ist das eine sehr starke
> Einschränkung.
>
> Trotzdem frage ich mal, ob es eine affine Abbildung [mm]f: \mathbb{A}(V) \rightarrow \mathbb{A}(V')[/mm]
>  gibt und eine [mm]\mathbb{K}[/mm] - lineare Abbildung [mm]g: V \rightarrow V'[/mm],
> die die Eigenschaft  [mm]\overrightarrow{f(P) f(Q)} = Jac_{f}(\overrightarrow{PQ})[/mm]
> für alle [mm]P, Q \in \mathbb{A}(V)[/mm] nicht erfüllt?

Verstehe ich nicht: wo ist denn $g$ geblieben? Aber das hat sich vielleicht auch vo selbst erledigt, weil die lineare Abbildung ja eindeutig bestimmt ist.

>  
>
> Mir ist klar, dass es davon vermutlich sehr viele geben
> wird, aber ich tu mir gerade schwer, mir ein solches
> Beispiel zu konstruieren. Ich habe schon Mühe, die
> Beispiele für eine solche Abb. [mm]Jac_{f}[/mm] im Skript zu
> verstehen...

Gehe bei der Konstruktion von affinen Abbildung vielleicht besser so vor: denke Dir zuerst eine lineare Abbildung aus; diese legst Du dann als [mm] $Jac_{f}$ [/mm] fest...

>  
>
> 4. Frage
>  ________
>  
>
> Wofür steht eigentlich die Abkürzung [mm]Jac_{f}[/mm] ? Hat diese
> Schreibweise eine tiefere Bedeutung, oder was will mein
> Prof damit andeuten?

$Jac$ deutet auf den Namen Jacobi und die nach ihm benannten Jacobi- Matrizen hin. Dein Prfessor denkt dann bei der zu einer affinen Abbildung $f$ zugehörigen linearen Abbildung an eine Ableitung von $f$.

Aber wenn Du es genau wissen willst, musst Du natürlich Deinen Professor fragen, schliesslich kann ich nicht seine Gedanken lesen.

>  
>
>
> 5. Frage
>  ________
>  
>
> Die letzte Frage von mir wäre, warum (1) und (3) gelten?

zu (1). Sei $f$ affin, d.h. [mm] $\overrightarrow{f(P)f(Q)}= Jac_{f}(\overrightarrow{PQ})$ [/mm] für alle [mm] $P,Q\in [/mm] A$.

Seien nun [mm] $P\in [/mm] A$ und [mm] $v\in [/mm] V$ beliebig. Setze $Q:= P+v$ und wende die Definitionsgeleichung an.

zu (3) (z.B. Injektivität). Ich zeige: $f$ nicht injektiv [mm] $\iff$ $Jac_{f}$ [/mm] nicht injektiv.

Sei zuerst $f$ nicht injektiv. Dann existieren verschiedene Punkte [mm] $P,Q\in [/mm] A$ mit $f(P)= f(Q)$.
Wende nun die Definitionsgleichung an.

Sei nun $Jac{f}$ nicht injektiv. Dann existiert [mm] $0\neq v\in [/mm] V$ mit [mm] $Jac_{f}(v)= [/mm] 0$. Sei [mm] $P\in [/mm] A$ und setze $Q:= P+v$.
Wende nun die Definitionsgleichung an.



Ich hoffe, das reicht ersteinmal; sonst frage einfach.

>  
> Was kann man das geometrisch interpretieren?
>  
> Ich meine, für mich macht es schon Sinn, dass (3) gilt,
> aber ich habe keine saubere Begründung dafür, bzw. ich
> könnte das niemandem erklären, wenn mich jemand danach
> fragt.
>  
>
>
>
>
>
> So, das war's. Ich hoffe, mir kann dabei jemand helfen. Das
> würde echt sehr helfen :-)
>  
>
> Einen schönen Abend noch,
>
> Anni
>  


Bezug
                
Bezug
Affine Abb. Verständnisfragen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:02 Mi 14.08.2019
Autor: Boogie2015

Vielen Dank für die schnelle Antwort! :-D



> Das solltest Du Dir selbst mit Hilfe des Skriptes
> beantworten können. Wenn Du möchtest,kannst Du natürlich
> die Definition von [mm]\mathbb{A}(V)[/mm] hier einstellen, damit wir
> sie durchgehen können.
>  
> Ich vermute, dass die Grundmengen in [mm]\mathbb{A}(V)[/mm] und
> [mm]\mathbb{A}(V')[/mm] nicht gleich sein müssen, denn eine solche
> Einschränkung ist hier überflüssig.


Die einzige Definition dazu ist folgende:

__________________________________________________________________________________________



Ein affiner Raum (AR) über $V$ ist eine Menge [mm] $\mathbb{A}(V) \neq [/mm] 0$, auf der $V$ scharf transitiv operiert.

Dabei ist [mm] $dim(\mathbb{A}(V)) [/mm] = dim(V)$



Anschaulich ist [mm] $\mathbb{A}(V)$ [/mm] der Vektorraum $V$ ohne ausgezeichneten Nullpunkt.


Erinnerung:


Eine Gruppe $G$ operiert auf der Menge, wenn jedes $g [mm] \in [/mm] G$ eine Bijektion $M [mm] \rightarrow [/mm] M, m [mm] \mapsto [/mm] g(m)$ definiert, so dass $G [mm] \rightarrow [/mm] Bij(M)$ ein Gruppenhomomorphismus ist.

Die Wirkung ist (scharf) transitiv, wenn es zu [mm] $m_{1}, m_{2}$ [/mm] ein (eindeutiges) $g [mm] \in [/mm] G$ mit [mm] $g(m_{1}) [/mm] = [mm] m_{2}$ [/mm] gibt.






Ein $P [mm] \in \mathbb{A}(V)$ [/mm] heißt (affiner) Punkt, ein $v [mm] \in [/mm] V$ Richtung. Das Bild von $P [mm] \in \mathbb{A}(V)$ [/mm] unter der Wirkung von $v [mm] \in [/mm] V$ wird mit $P + v$ bezeichnet, die Parallelverschiebung (Translation) von $P$ um $v$.

Der eindeutige Vektor, der $P$ auf $Q$ verschiebt, heißt Ortvektor von $Q$ bzg. $P$

Notation: [mm] $\vec{PQ} \in [/mm] V$




__________________________________________________________________________________________


In der Definition sieht es so aus, als wäre [mm] $\mathbb{A}(V)$ [/mm] irgendeine Menge, auf der $V$ operiert.
Aber weiter unten steht dann, dass [mm] $\mathbb{A}(V)$ [/mm] (anschaulich) der Vektorraum $V$ ohne ausgezeichneten Nullpunkt ist.

Jetzt weiß ich nach diesem Satz nicht, ob [mm] $\mathbb{A}(V) [/mm] = V$ ist, oder nicht :-(


Der Rest ist mir jetzt klar. Den habe ich gestern versucht zu verstehen und hat ganz gut geklappt!

Vielen Dank nochmal für die Hilfe! :-)

Bezug
                        
Bezug
Affine Abb. Verständnisfragen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:41 Do 15.08.2019
Autor: hippias

Die Punktmenge, auf der $V$ operiert, ist i.a. [mm] $\neq [/mm] V$. Mit Hilfe der scharf transitiven Operation lässt sich auf der Punktmenge stets eine Vektorraumstruktur erklären, die zu $V$ isomorph ist, und darüber hinaus auch die entsprechenden affinen Räume isomorph sind. In diesem Sinne könnte man sagen: oBdA gilt $A(V)= V$.

Dazu sei [mm] $P\in [/mm] A$. Seien [mm] $Q,R\in [/mm] A$ und [mm] $\lambda\in [/mm] K$. Definiert man $Q+R= [mm] P+\overrightarrow{PQ}+ \overrightarrow{PR}$ [/mm] und [mm] $\lambda [/mm] Q= [mm] P+\lambda\overrightarrow{PQ}$, [/mm] so ist $A$ ein zu $V$ isomorpher Vektorraum.

Wenn Du die VR-Axiome nachrechnest, dann stellst Du fest, dass $P$ das neutrale Element der Addition ist. In diesem Sinne wurde $P$ als Koordinatenursprung festgelegt.

Auf diesem Raum operiert $V$ offensichtlich ebenfalls scharf transitiv, so dass der entsprechende affine Raum zum ursprünglichen ebenfalls isomorph ist.  

P.S. Warum zwei Accounts?  

Bezug
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