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| Aufgabe | Betrachten Sie folgende Abbildung des 3-dimensionalen euklidischen affinen Raumes [mm] $\IR^3$, [/mm] und entscheiden Sie um welche Art von Abbildung es sich handelt.
Bestimmen Sie auch die wichtigsten Bestandteile wie ggf. Drehachsen, Translationsvektoren, Spieglungsachsen etc.
[mm] $\varphi\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)=\begin{pmatrix}\frac{2}{7}x_{1}+\frac{3}{7}x_{2}+\frac{6}{7}x_{3}+1\\
\frac{3}{7}x_{1}-\frac{6}{7}x_{2}+\frac{2}{7}x_{3}+9\\
\frac{6}{7}x_{1}+\frac{2}{7}x_{2}-\frac{3}{7}x_{3}+3
\end{pmatrix}$ [/mm] |
Okay ich bin nun wie folgt vorgegangen:
[mm] $\varphi\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)=\begin{pmatrix}\frac{2}{7} & \frac{3}{7} & \frac{6}{7}\\
\frac{3}{7} & -\frac{6}{7} & \frac{2}{7}\\
\frac{6}{7} & \frac{2}{7} & -\frac{3}{7}
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_{1}\\
x_{2}\\
x_{3}
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1\\
9\\
3
\end{pmatrix}$
[/mm]
Bezeichnet man die Spalte der Matrix A mit [mm] $v_1,v_2,v_3$ [/mm] gilt:
[mm] $\|v_1\|=\|v_2\|=\|v_3\|=1$ [/mm] und [mm] $v_1\cdot v_2=0, v_1\cdot v_2=0$, $v_2\cdot v_3=0 \Rightarrow v_1,v_2,v_3$ [/mm] bilden Orthonormalbasis [mm] $\Leftrightarrow A^T=A^{-1}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow \overrightarrow{\varphi}\in [/mm] O(V)$
$ [mm] \Rightarrow \varphi \in [/mm] Isom(X)$
[mm] \underline{\text{Fixpunkte}}:
[/mm]
[mm] $(\overrightarrow{\varphi}-id)(x_1,x_2,x_3)=-b$, [/mm] wobei [mm] $b:=(1,9,3)^T$
[/mm]
[mm] $\begin{pmatrix}\frac{2}{7} & \frac{3}{7} & \frac{6}{7} & 1\\
\frac{3}{7} & -\frac{6}{7} & \frac{2}{7} & 9\\
\frac{6}{7} & \frac{2}{7} & -\frac{3}{7} & 3
\end{pmatrix}\rightsquigarrow....\rightsquigarrow\begin{pmatrix}1 & 5 & -4 & -21\\
0 & -2 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & -112
\end{pmatrix}$ [/mm] (Anmerkung: Bei dem LGS bin ich mir relativ sicher, ich erspare mir mal das komplett aufzuschreiben).
[mm] $\Rightarrow Fix(\varphi)=\emptyset$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow \varphi$ [/mm] ist Translation, Gleitspieglung oder Schraubung.
Aus [mm] $\overrightarrow{\varphi}\not= [/mm] id [mm] \Rightarrow \varphi$ [/mm] ist keine Translation.
Berechnung von [mm] $(\overrightarrow{\varphi}-id)(x_1,x_2,x_3)=0$:
[/mm]
Endresultat:
[mm] $\begin{pmatrix}1 & 0 & -\frac{3}{2}\\
0 & 1 & -\frac{1}{2}\\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow D=\left\langle \begin{pmatrix}\frac{3}{2}\\
\frac{1}{2}\\ 1\end{pmatrix}\right\rangle [/mm] (Anmerkung: Mit D haben wir immer die lineare Drehachse bezeichnet, aber wegen [mm] (\star) [/mm] fand ich die Wahl direkt passend. Keine Ahnung ob man das evtl. anders aufschreiben müsste).
[mm] $(\star)$ [/mm] Aufgrund von [mm] $\dim(D)=1\Rightarrow \varphi$ [/mm] ist Schraubung.
Okay wir haben also eine Schraubung.
[mm] \underline{\text{Bestimmung des Drehwinkels}}:
[/mm]
[mm] $cos(\Theta)=\frac{1}{2}\cdot (tr(A)-1)=\frac{1}{2}\cdot (\frac{2}{7}-\frac{6}{7}-\frac{3}{7}-1)= [/mm] -1$
[mm] $\Rightarrow \Theta=\pm \pi \mod 2\pi$
[/mm]
[mm] \underline{\text{Bestimmung des Translationsvektors}}:
[/mm]
Zweimaliges drehen entspricht einer Drehung um [mm] 2\pi.
[/mm]
Also kann man den Translationsvektor $v$ folgendermaßen berechnen:
[mm] $v=\frac{1}{2}\cdot\overrightarrow{B\varphi^{2}\left(B\right)}$
[/mm]
Wähle B=(0,0,0), dann ist
[mm] \varphi^2(0,0,0)=\begin{pmatrix}\frac{54}{7}\\
\frac{18}{7}\\
\frac{36}{7}
\end{pmatrix}
[/mm]
[mm] \Rightarrow v=\begin{pmatrix}\frac{54}{14}\\
\frac{18}{14}\\
\frac{36}{14}
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{27}{7}\\
\frac{9}{7}\\
\frac{18}{7}
\end{pmatrix} [/mm]
[mm] \underline{\text{So nun zu meinem Problem}}. [/mm] Ich muss nun noch die affine Drehachse [mm] $\matfrak{D}$ [/mm] bestimmen. Dazu benötige ich einen Punkt auf meiner Affinen drehachse. Meine überlegung dazu sieht folgendermaßen aus. Ich drehe hier um 180° und dann verschiebe ich den Punkt um $v$.
Wenn ich nun die Translation aufhebe, erhalte ich einen Punkt $A'$.
Also [mm] $A'=\varphi(A)-v$.
[/mm]
Als nächstes habe ich den Bisektor zwischen $A$ und $A'$ gebildet:
[mm] \frac{1}{2}\cdot\left[\begin{pmatrix}0\\
0\\
0
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-\frac{20}{7}\\
\frac{54}{7}\\
\frac{3}{7}
\end{pmatrix}\right]=\begin{pmatrix}-\frac{20}{14}\\
\frac{54}{14}\\
\frac{3}{14}
\end{pmatrix}
[/mm]
[mm] $\Rightarrow \matfrak{D}=\left\{ \vektor{-\frac{20}{14} \\ \frac{54}{14} \\ \frac{3}{14}} + \left\langle \vektor{\frac{3}{2} \\ \frac{1}{2} \\ 1} \right\rangle \right\} [/mm] $
Stimmt das so? Wenn nein, wie kann ich meine affine Drehachse bestimmen? Das geht mit meiner vorgehensweise wenn überhaupt auch nur mit dem Drehwinkel [mm] \pi. [/mm] Was mache ich wenn ich andere Winkel habe?
Mit freundlichen grüßen
Raspery21.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 03:20 Di 02.02.2016 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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