Affine Zinsstruktur < Finanzmathematik < Finanz+Versicherung < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:13 Di 08.06.2004 | | Autor: | Brigitte |
Hallo allerseits,
ich beschäftige mich gerade mit Zinsstrukturmodellen und damit zusammenhängend mit affinen Zinsstrukturmodellen (nach Duffie/Kan). In dem ursprünglichen Artikel und z.B. im Brigo/Mercurio steht, dass aus der Forderung von affinen Funktionen [mm] $\mu$ [/mm] und [mm] $\sigma^2$ [/mm] aus der SDE für die Zinsintensität
[mm]dr_t = \mu(t,r_t)\,dt + \sigma(t,r_t)\,dW_t [/mm]
eine affine Zinsstruktur, sprich die Bondpreisformel
[mm]P(t,T) = A(t,T)\exp(-B(t,T)r_t)[/mm]
folgt. Der Beweis funktioniert jeweils so, dass man annimmt, letztere Formel sei gegeben und leitet daraus ab, welche Differentialgleichungen dann für A und B (in Abhängigkeit der eingesetzten Funktionen für die Affinität von [mm] $\mu$ [/mm] und [mm] $\sigma^2$) [/mm] entstehen. Ich finde nicht, dass das als Beweis genügt. Eigentlich muss ich doch zeigen, welche Lösung sich für [mm] $r_t$ [/mm] aus der SDE ergibt und dann den Bondpreis gemäß
[mm]P(t,T)=E\left[\exp(-\int_t^T r_s\,ds)|{\cal F}_t\right][/mm]
bestimmen. Leider langen meine Kenntnisse aus der stochastischen Analysis nicht aus, um da weiterzumachen.
Kann mir jemand helfen?
Danke und lieben Gruß
Brigitte
P.S.: Im Björk steht zu dieser Thematik zunächst nur, dass die Affinität von [mm] $\mu$ [/mm] und [mm] $\sigma^2$ [/mm] eine affine Zinsstruktur [mm] [i]zulässt[\i [/mm] ] (Prop. 17.2), was in meinen Augen der Wahrheit besser entspricht, im Text darunter steht aber auch wieder "that we get an ATS". (???)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:48 Di 08.06.2004 | | Autor: | Stefan |
Liebe Brigitte!
Ich denke das reicht als Beweis aus. Aber der Reihe nach:
Was man ja zeigt, ist folgendes:
Wenn [mm] $\mu$ [/mm] und [mm] $\sigma$ [/mm] von der Form (in der $Q$-Dynamik)
[mm] \left\{ \begin{array}{ccc} \mu(t,r) & = & \alpha(t)r + \beta(t),\\[5pt] \sigma(t,r) & = & \sqrt{\gamma(t)r + \delta(t)} \end{array} \right.[/mm]
sind und weiterhin $A$ und $B$ Lösungen der AWPe
[mm]\left\{ \begin{array}{rcc} B_t(t,T) + \alpha(t) B(t,T) - \frac{1}{2} \gamma(t)B^2(t,T) & = & -1,\\[5pt]
B(T,T) & = & 0 \end{array} \right.[/mm],
[mm]\left\{ \begin{array}{ccl} A_t(t,T) & = & \beta(t) B(t,T) - \frac{1}{2} \delta(t)B^2(t,T),\\[5pt]
A(T,T) & = & 0 \end{array} \right.[/mm]
sind (dieses System hat eine eindeutige Lösung), dann erfüllt
$F(t,r;T):= [mm] e^{A(t,T) - B(t,T)r}$
[/mm]
die partielle Differentialgleichung:
[mm] \left\{ \begin{array}{rcc} F_t^T + \mu F_r^T + \frac{1}{2} \sigma^2 F_{rr}^T - rF^T & = & 0,\\[5pt]
F^T(T,r) & = & 1 \end{array} \right.[/mm].
Andererseits wissen wir, dass
[mm]P(t,r,T)=E^Q\left[\exp(-\int_t^T r_s\,ds)\, |\, {\cal F}_t\right][/mm]
diese partielle Differentialgleichung erfüllt.
Da aber die Lösung dieser partiellen Differentialgleichung eindeutig bestimmt ist, folgt in der Tat
$P(t,r,T) = [mm] e^{A(t,T) - B(t,T)r}$.
[/mm]
Oder habe ich da etwas übersehen?
Liebe Grüße
Stefan
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