Algebraische Vielfachheit < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Man bestimme die Eigenwerte und die zugeh¨origen Eigenr¨aume der Matrix
[mm]\pmat{ -1 & 0 & 1 \\ 3 & 0 & -3 \\ 1 & 0 & -1 }[/mm]
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Hi,
habe ein kleines Verständnisproblem zur algebraischen Vielfachheit. Bekomme für obige Matrix das charakteristische Polynom:
[mm] \lambda^{3} + 2\lambda^{2}[/mm] heraus. In diesem Fall einfach zu sehen das die Eigenwerte 0 und -2 sind. Wie weiß ich allerdings das die algebraische Vielfachheit von 0, 2 ist. Laienhaft ausgedrückt wann weiß ich das mein Eigenwert 2 mal oder öfter vorkommt. Steh dabei voll auf der Leitung.
lg
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Hallo mathe_tipster,
> Man bestimme die Eigenwerte und die zugeh¨origen
> Eigenr¨aume der Matrix
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> [mm]\pmat{ -1 & 0 & 1 \\ 3 & 0 & -3 \\ 1 & 0 & -1 }[/mm]
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> Hi,
>
> habe ein kleines Verständnisproblem zur algebraischen
> Vielfachheit. Bekomme für obige Matrix das
> charakteristische Polynom:
> [mm]\lambda^{3} + 2\lambda^{2}[/mm] heraus. In diesem Fall einfach
> zu sehen das die Eigenwerte 0 und -2 sind. Wie weiß ich
> allerdings das die algebraische Vielfachheit von 0, 2 ist.
> Laienhaft ausgedrückt wann weiß ich das mein Eigenwert 2
> mal oder öfter vorkommt. Steh dabei voll auf der Leitung.
Die algebraische Vielfachheit ist die Vielfachheit der Nullstelle in einem Polynom.
Hier also:
[mm]\lambda^{3}+2\lambda^{2}=\lambda^{2}*\left(\lambda+2\right)[/mm]
[mm]\lambda=0[/mm] hat die algebraische Vielfachheit 2, da Faktor [mm]\lambda^{\blue{2}}[/mm]
[mm]\lambda=-2[/mm] hat die algebraische Vielfachheit 1, da Faktor [mm]\left(\lambda+2\right)^{\blue{1}}[/mm]
>
> lg
Gruß
MathePower
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Danke das hat mir schon viel geholfen, wie schaut es allerdings mit diesem Polynom aus:
[mm]\lambda^{3} - 5\lambda^{2} + 7\lambda - 3[/mm]. Habe erst nach paar mal probieren das Polynom in [mm](\lambda - 1)^{2} . (\lambda - 3)[/mm] zerlegt. Gibt es irgendeine schnellere bzw. Pauschallösung um die algebraische Vielfachheit schneller zu erkennen. (Habe zuerst das Polynom durch Polynomdivision verkleinert und anschließend mit pq Formel die zwei Eigenwerte errechnet).
lg
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Hallo mathe_tipster,
> Danke das hat mir schon viel geholfen, wie schaut es
> allerdings mit diesem Polynom aus:
> [mm]\lambda^{3} - 5\lambda^{2} + 7\lambda - 3[/mm]. Habe erst nach
> paar mal probieren das Polynom in [mm](\lambda - 1)^{2} . (\lambda - 3)[/mm]
> zerlegt. Gibt es irgendeine schnellere bzw. Pauschallösung
> um die algebraische Vielfachheit schneller zu erkennen.
> (Habe zuerst das Polynom durch Polynomdivision verkleinert
> und anschließend mit pq Formel die zwei Eigenwerte
> errechnet).
Bei diesem Polynom ist die algebraische Vielfachheit
der Nullstelle [mm]\lambda=1[/mm] gleich 2,
die der Nullstelle [mm]\lambda=3[/mm] gleich 1.
Eine schnellere Methode ist mir nicht bekannt.
>
> lg
Gruß
MathePower
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