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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:14 Mi 12.11.2008 | | Autor: | tcjosh |
Für ein Referat muss ich allgemein zeigen, dass die Differenzialgleichung des exponentiellen Wachstums f'(x) = k * f(t), die Lösung f(t) = c * e^kx hat. Ich weiß allerdings nicht wie ich das beweisen bzw. herleiten soll.
Meine Lösungsansatz ging bisher daher, es so zu versuchen, die Differenzialgleichung erst nach k umzuformen und es dann über aufleiten zu versuchen. Allerdings koimm ich dabei einfach nicht weiter. Hat mir jemand eine Idee, wie ich dies zeigen kann?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:25 Mi 12.11.2008 | | Autor: | fred97 |
Bitte das Wort "Aufleitung" vermeiden. Es ist eine Erfindung von unfähigen Mathematiklehrern.
Zur Aufgabe:
Wir bestimmen alle Lösungen der Gleichung
(G) f'(x) = kf(x).
1. Durch einfaches Nachrechnen sieht man , dass für jedes c [mm] \in \IR [/mm] die Funktion f(x) = [mm] ce^{kx} [/mm] eine Lösung von (G) ist
2. Sei f eine Lösung von (G). Setze g(x) = [mm] \bruch{f(x)}{e^{kx}}.
[/mm]
Leitet man g ab (Quotientenregel !) , so erhält man g'(x) = 0 für jedes x [mm] \in \IR.
[/mm]
D.H.: g ist auf [mm] \IR [/mm] konstant. Also existiert ein c [mm] \in \IR [/mm] mit g(x) = c für jedes x.
Somit gilt : f(x) = [mm] ce^{kx}
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:06 Mi 12.11.2008 | | Autor: | tcjosh |
Darf ich Fragen, wie du bei 2.) auf die Gleichung von g(x) kommst? Und was genau für eine Gleichung ist g(x) jetzt?
Meine Lehrerin hats mir nämlich so erklärt, ich müsse dabei mit "integrieren" und "Logarithmus" arbeiten, um die Lösung zu beweisen.
Vielen Danke übrigens für deine extrem schnelle Anwort :)!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:47 Mi 12.11.2008 | | Autor: | fred97 |
> Darf ich Fragen, wie du bei 2.) auf die Gleichung von g(x)
> kommst? Und was genau für eine Gleichung ist g(x) jetzt?
Ich definiere eine neue Funktion g durch
g(x): = $ [mm] \bruch{f(x)}{e^{kx}}. [/mm] $
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>
> Meine Lehrerin hats mir nämlich so erklärt, ich müsse dabei
> mit "integrieren" und "Logarithmus" arbeiten, um die Lösung
> zu beweisen.
Müssen tust Du gar nichts. Mit "Logarithmus" arbeiten geht in die Richtung des Lösungsvorschlags von Al Chwarizmi (s.unten). Dieser Vorschlag gefällt mir aber nicht so gut (Begründung: s. Unten)
FRED
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> Vielen Danke übrigens für deine extrem schnelle Anwort :)!
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> Für ein Referat muss ich allgemein zeigen, dass die
> Differenzialgleichung des exponentiellen Wachstums f'(x) =
> k * f(t), die Lösung f(t) = c * e^kx hat. Ich weiß
> allerdings nicht wie ich das beweisen bzw. herleiten soll.
Zuerst einmal: verwende entweder die Variable x oder t,
aber nicht beide durcheinander gemixt !
> Meine Lösungsansatz ging bisher daher, es so zu versuchen,
> die Differenzialgleichung erst nach k umzuformen und es
> dann über aufleiten zu versuchen.
Du kannst es genau so machen.
Also: $\ [mm] k=\bruch{f'(x)}{f(x)}$
[/mm]
beidseitig integrieren: [mm] $\integral{k}\ dx=\integral \bruch{f'(x)}{f(x)}\ [/mm] dx$
Substitution: $\ f(x)=u$
$\ f'(x)dx=du$
$\ [mm] k*x=\integral \bruch{f'(x)}{f(x)}\ dx=\integral \bruch{1}{u}\ [/mm] du$
Und nun bist du dran !
Vorsicht: Integrationskonstante nicht vergessen !
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:53 Mi 12.11.2008 | | Autor: | fred97 |
> > Für ein Referat muss ich allgemein zeigen, dass die
> > Differenzialgleichung des exponentiellen Wachstums f'(x) =
> > k * f(t), die Lösung f(t) = c * e^kx hat. Ich weiß
> > allerdings nicht wie ich das beweisen bzw. herleiten soll.
>
> Zuerst einmal: verwende entweder die Variable x oder t,
> aber nicht beide durcheinander gemixt !
>
>
> > Meine Lösungsansatz ging bisher daher, es so zu versuchen,
> > die Differenzialgleichung erst nach k umzuformen und es
> > dann über aufleiten zu versuchen.
>
>
>
> Du kannst es genau so machen.
Hallo Al,
da bin ich anderer Meinung. Solange man von f nur weiß, dass f der DGL genügt, kann man nicht ausschließen, dass f Nullstellen hat. Die Quotientenbildung ist also zweifelhaft.
Sollte f an der Stelle [mm] x_0 [/mm] verschwinden, so sieht man :
[mm] f^{(n)}(x_0) [/mm] = 0 für jedes n
(an der DGL sieht man: f ist auf [mm] \IR [/mm] beliebig oft differenzierbar)
FRED
>
> Also: [mm]\ k=\bruch{f'(x)}{f(x)}[/mm]
>
> beidseitig integrieren: [mm]\integral{k}\ dx=\integral \bruch{f'(x)}{f(x)}\ dx[/mm]
>
> Substitution: [mm]\ f(x)=u[/mm]
> [mm]\ f'(x)dx=du[/mm]
>
> [mm]\ k*x=\integral \bruch{f'(x)}{f(x)}\ dx=\integral \bruch{1}{u}\ du[/mm]
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> Und nun bist du dran !
> Vorsicht: Integrationskonstante nicht vergessen !
>
>
> LG
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> > > Differenzialgleichung f'(x) = k * f(x)
> > > Lösung f(x) = c * e^kx
> Solange man von f nur weiß,
> dass f der DGL genügt, kann man nicht ausschließen,
> dass f Nullstellen hat.
> Die Quotientenbildung ist also zweifelhaft.
Gut, damit bin ich mal einverstanden. Den Fall, wo
f allenfalls Nullstellen haben sollte, müsste man
separat betrachten.
> Sollte f an der Stelle [mm]x_0[/mm] verschwinden, so sieht man :
>
> [mm]f^{(n)}(x_0)[/mm] = 0 für jedes n
O.K., und daraus könnte man dann weiter schliessen,
dass man damit auf die Lösung f(x)=0 (für alle [mm] x\in \IR)
[/mm]
kommt. Dies ist offensichtlich auch eine Lösung der DGL.
Schönen Abend noch
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