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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:32 Mi 19.10.2011 | | Autor: | peeetaaa |
| Aufgabe | Ermitteln sie die Lösungen der AWA
u'= [mm] \alpha*u(\beta [/mm] -u) mit [mm] u(0)=u_0 (\alpha, \beta [/mm] >0) |
Hallo zusammen,
wollte grade diese Aufgabe bearbeiten aber hab noch ein paar Probleme weil ich gar nicht weiß wie ich an die Aufgabe rangehen soll!
wollte u'= [mm] \alpha*u(\beta [/mm] -u) zuerst umschreiben in
u'= [mm] \alpha*\beta*u [/mm] - [mm] \alpha*u^2
[/mm]
aber das hilft mir trotzdem nicht weiter...ich erkenne hier iwie nicht welches Verfahren ich anwenden muss!
Vllt könnte mir da ja jemand einen kleinen Tipp geben!
Danke!
Gruß,
peeetaaa
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:39 Mi 19.10.2011 | | Autor: | Infinit |
Hallo peetaaa,
eine Trennung der Variablen u und x hilft Dir hier weiter:
[mm] \bruch{du}{dx} = \alpha \beta u - \alpha u^2 [/mm] oder auch
[mm] \int \bruch{du}{\alpha \beta u - \alpha u^2}= \int dx [/mm]
Dann bietet sich die Partialbruchzerlegung zur Lösung der linken Seite an.
Viele Grüße,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:11 Mi 19.10.2011 | | Autor: | peeetaaa |
Danke schonmal für die schnelle Antwort!
Hab mich jetzt mal an der Partialbruchzerlegung versucht:
[mm] \int \bruch{du}{\alpha \beta u - \alpha u^2}= \int [/mm] dx
dafür musste man ja die Nullstellen bestimmen und der Ausdruck unter dem Bruch wird für [mm] \alpha*u=0 [/mm] oder [mm] \beta [/mm] -u =0 eine Polstelle
das hab ich dann in die formel eingesetzt:
[mm] \bruch{A}{\alpha*u} +bruch{B}{\beta - u}= \bruch{1}{\alpha*u(\beta-u)}
[/mm]
=> [mm] A(\beta-u)+B\alpha*u=1
[/mm]
[mm] =>(B*\alpha [/mm] -A)u+ [mm] A\beta=1
[/mm]
Koeffizientenverlgeich:
[mm] B*\alpha [/mm] -A= 0
und [mm] A*\beta=1
[/mm]
=> A= [mm] \bruch{1}{\beta}
[/mm]
A in erste gleichung einsetzen
[mm] B=\bruch{1}{\alpha*\beta}
[/mm]
ist das soweit richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:38 Mi 19.10.2011 | | Autor: | Infinit |
Hallo peetaa,
jetzt musste ich erst mal meinen Kuli spitzen und ein bisschen rumrechnen. Sieht gut aus, diese Koeffizienten bekomme ich auch raus. Da kommen also hochintegriert 2 Ln-Funktionen raus für die linke Seite.
Viele Grüße,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:45 Do 20.10.2011 | | Autor: | peeetaaa |
Danke, dass du dir die Zeit genommen hast, das nochmal zu überprüfen!
Dann hab ich jetzt so weitergemacht :
[mm] \int \bruch{1}{\alpha \beta u} [/mm] du + [mm] \int \bruch{1}{\alpha \beta(\beta -u} [/mm] du = [mm] \int [/mm] 1 dx
das hab ich jetzt integriert und erhalte
[mm] \bruch{ln(u)}{ab} [/mm] - [mm] \bruch{ln(ab(b-u))}{ab}= [/mm] x+c
[mm] \bruch{ln(u)-ln(ab*(b-u))}{ab}=x+c
[/mm]
ln(u)-ln(ab*(b-u))=ab(x+c)
[mm] \bruch{u}{ab(b-u)}= [/mm] exp(ab(x+c))
u= ab(b-u)*exp(ab(x+c))
[mm] \bruch{u}{b-u}= [/mm] ab*exp(ab(x+c))
aber irgendwie schaff ichs nicht, dass mein u einzelnd auf einer seite steht...
hab ich da irgendwo einen fehler drin?
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Hallo peeetaaa,
nur mal zum Ende Deiner Frage:
> [mm]\bruch{u}{b-u}=[/mm] ab*exp(ab(x+c))
> aber irgendwie schaff ichs nicht, dass mein u einzelnd auf
> einer seite steht...
[mm] \bruch{u}{b-u}=z\quad\gdw u=z(b-u)=zb-zu\quad\gdw u+zu=u(z+1)=zb\quad\gdw u=\bruch{z}{z+1}*b
[/mm]
- jedenfalls für [mm] b\not={u}.
[/mm]
Jetzt frag bloß nicht, was z ist...
Grüße
reverend
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Hallo
> Danke, dass du dir die Zeit genommen hast, das nochmal zu
> überprüfen!
>
> Dann hab ich jetzt so weitergemacht :
>
> [mm]\int \bruch{1}{\alpha \beta u}[/mm] du + [mm]\int \bruch{1}{\alpha \beta(\beta -u}[/mm] du = [mm]\int[/mm] 1 dx
Jo, hier kannst du aber linkerhand geschmeidig erstmal [mm]\frac{1}{\alpha\beta}[/mm] ausklammern ...
Also [mm]\frac{1}{\alpha\beta}\cdot{} \ \left[ \ \int{\frac{1}{u} du} \ + \ \int{\frac{1}{\beta-u} \ du} \ \right] \ = \ \int{1 \ dx}[/mm] rechnen ...
> das hab ich jetzt integriert und erhalte
>
> [mm]\bruch{ln(u)}{ab}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") - [mm]\bruch{ln(ab(b-u))}{ab}=[/mm] ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
Wie kommt [mm]ab[/mm] (was nebenbei sicher [mm]\alpha\beta[/mm] heißen soll) in das Argument vom [mm]\ln[/mm] ?
> x+c
Richtig: [mm]\frac{1}{\alpha\beta}\cdot{}\left(\ln(u)-\ln(\beta-u)\right)=x+c[/mm]
Damit [mm]\ln\left(\frac{u}{\beta-u}\right)=\alpha\beta x+c_1[/mm] mit [mm]c_1=\alpha\beta c[/mm]
Nun weiter ...
> [mm]\bruch{ln(u)-ln(ab*(b-u))}{ab}=x+c[/mm]
> ln(u)-ln(ab*(b-u))=ab(x+c)
> [mm]\bruch{u}{ab(b-u)}=[/mm] exp(ab(x+c))
> u= ab(b-u)*exp(ab(x+c))
> [mm]\bruch{u}{b-u}=[/mm] ab*exp(ab(x+c))
> aber irgendwie schaff ichs nicht, dass mein u einzelnd
Bitte! Das heißt einzeln - ohne "d" am Ende
> auf
> einer seite steht...
So ähnlich ergibt sich das bei richtiger Rechnung, dann die Gleichung mit [mm]\beta-u[/mm] multiplizieren, rechterhand ausmultiplizieren und das [mm]-u\cdot{}\text{rechte Seite}[/mm] wieder nach links schaffen und u ausklammern
> hab ich da irgendwo einen fehler drin?
>
Gruß
schachuzipus
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