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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:39 Di 07.06.2016 | | Autor: | Ice-Man |
| Aufgabe | Ermitteln Sie die Lösung, die die Anfangsbedingungen erfüllt.
Die allgemeine Lösung ist bekannt.
y'''+y''+3y'-5y=0
y(0)=1, y'(0)=-1, y''(0)=5 |
Hallo,
ich weis leider nicht so richtig wie ich vorgehen soll.
Mein Ansatz wäre wie folgt,
[mm] s^{3}Y(s)-s^{2}y(0)-sy'(0)-s^{2}Y(s)-sy(0)-y'(0)+3[sY(s)-y(0)]-5Y(s)
[/mm]
[mm] s^{3}Y(s)-s^{2}+s-s^{2}Y(s)-s+1+3sY(s)-3+5Y(s)
[/mm]
[mm] Y(s)[s^{3}-s^{2}+3s-5]-2-s^{2}=0
[/mm]
[mm] Y(s)=\bruch{s^{2}+2}{s^{3}-s^{2}+3s-5}
[/mm]
Wäre mein Anfang korrekt, oder bin ich auf dem absolut falschem Weg?
Ich wäre dankbar wenn mir jemand weiterhelfen könnte.
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Mit dem Ansatz [mm] y=ae^{kx} [/mm] erhältst du die Gleichung
[mm] k^3+k^2+3k-5=0 [/mm] mit den Lösungen k=1, k=-1-2i und k=-1+2i und damit
[mm] y=ae^x+be^{(-1-2i)x}+ce^{(-1+2i)x}.
[/mm]
Einsetzen der Randbedingungen führt auf die Gleichungen
a+b+c=1
a-(1+2i)b+(2i-1)c=-1
a-(-3+4i)b-(-3-4i)c=5
mit den Lösungen [mm] a=\bruch{9-i}{2}, [/mm] b=-2-2i und [mm] c=\bruch{-3+5i}{2}. [/mm]
Falls dein Ansatz nach Laplace die selbe Lösung liefert, ist alles ok.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:34 Mi 08.06.2016 | | Autor: | Ice-Man |
Danke für deine Hilfe,
aber ich habe als Lösung angegeben,
[mm] y=e^{x}-e^{-x}sin(2x)
[/mm]
Und das ist doch nicht das gleiche, oder?
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Sorry,
durch einen Schreibfehler habe ich das Gleichungssystem nicht korrekt aufgeschrieben und dadurch eine falsche Lösung bekommen.
[mm] \red{Falsch:}
[/mm]
a+b+c=1
a-(1+2i)b+(2i-1)c=-1
a-(-3+4i)b [mm] \red{\textbf{-}} [/mm] (-3-4i)c=5
mit den Lösungen [mm] \red{a=\bruch{9-i}{2}, b=-2-2i} [/mm] und [mm] \red{c=\bruch{-3+5i}{2}. } [/mm]
[mm] \blue{Richtig:}
[/mm]
a+b+c=1
a-(1+2i)b+(2i-1)c=-1
a-(-3+4i)b [mm] \textbf{\blue{+}} [/mm] (-3-4i)c=5
mit den Lösungen [mm] a=\blue{1}, [/mm] b = [mm] \blue{\bruch{-i}{2}} [/mm] und c = [mm] \blue{\bruch{i}{2}}. [/mm]
Das führt nun zu
[mm] y=e^x-\bruch{i}{2}e^{-x-2ix}+\bruch{i}{2}e^{-x+2ix}
[/mm]
[mm] =e^{x}+\bruch{1}{2i}e^{-x}*e^{-2ix}-\bruch{1}{2i}e^{-x}*e^{2ix} [/mm] (mit [mm] \bruch{1}{i}=-i)
[/mm]
[mm] =e^{x}+e^{-x}*(\bruch{e^{-2ix}-e^{2ix}}{2i} [/mm] )
[mm] =e^{x}-e^{-x}*(\bruch{e^{2ix}-e^{-2ix}}{2i} [/mm] )
[mm] =e^{x}-e^{-x}*sin(2x). [/mm]
Ja, es ist das Gleiche, ich habe dich hoffentlich durch den Rechenfehler nicht zu sehr irritiert.
Vermutlich geht die Lösung über Laplace schneller und sicherer, vorausgesetzt, man hat die entsprechenden Transformationstafeln.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:34 Mi 08.06.2016 | | Autor: | Ice-Man |
Ich habe jetzt meinen Ansatz nochmal kontrolliert,
wäre der Ansatz denn richtig?
y'''+y''+3y'+5=0
[mm] s^{3}Y(s)-s^{2}y(0)-sy'(0)-y''(0)+s^{2}Y(s)-sy(0)-y'(0)+3[sY(s)-y(0)]-5Y(s)
[/mm]
[mm] Y(s)=\bruch{s^{2}+7}{s^{3}+s^{2}+3s+5}
[/mm]
[mm] s_{1}=1
[/mm]
[mm] s_{2}=-1+2j
[/mm]
[mm] s_{3}=1-2j
[/mm]
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> Ich habe jetzt meinen Ansatz nochmal kontrolliert,
>
> wäre der Ansatz denn richtig?
>
> y'''+y''+3y'+5=0
Du meinst y'''+y''+3y' [mm] \red{-} [/mm] 5 [mm] \red{y}=0
[/mm]
>
> [mm]s^{3}Y(s)-s^{2}y(0)-sy'(0)-y''(0)+s^{2}Y(s)-sy(0)-y'(0)+3[sY(s)-y(0)]-5Y(s)[/mm]
Du meinst [mm] s^{3}Y(s)-s^{2}y(0)-sy'(0)-y''(0)+s^{2}Y(s)-sy(0)-y'(0)+3[sY(s)-y(0)]-5Y(s) \red{=0}
[/mm]
>
> [mm]Y(s)=\bruch{s^{2}+7}{s^{3}+s^{2}+3s+5}[/mm]
Du meinst [mm] Y(s)=\bruch{s^{2}+7}{s^{3}+s^{2}+3s \red{-} 5}
[/mm]
>
> [mm]s_{1}=1[/mm]
> [mm]s_{2}=-1+2j[/mm]
> [mm]s_{3}=1-2j[/mm]
Damit ergibt sich nun [mm]s_{3}= \red{-}1-2j[/mm]
und daraus
[mm] Y(s)=\bruch{s^{2}+7}{s^{3}+s^{2}+3s- 5}=\bruch{1}{s-1}-\bruch{\bruch{i}{2}}{s+1+2i}+\bruch{\bruch{i}{2}}{s+1-2i}
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:13 Mi 08.06.2016 | | Autor: | Ice-Man |
Ja, sorry, ich hatte da den ein oder anderen Tippfehler.
Also auf jeden Fall noch einmal vielen Dank.
Bis zum vorletzten Schritt kann ich ja alles nachvollziehen.
Doch beim "rücktransformieren" habe ich noch ein Problem.
Den ersten Term bekomm ich ja noch hin. Aber wie bekomme ich denn aus Term 2 und 3 den Lösungsausdruck
[mm] -e^{-x}sin(2x)
[/mm]
Das verstehe ich leider immer noch nicht.
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Hilft dir folgendes weiter:
[mm] Y(s)=\bruch{s^{2}+7}{s^{3}+s^{2}+3s- 5}=\bruch{1}{s-1}-\bruch{2}{s^2+2s+5}?
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:31 Do 09.06.2016 | | Autor: | Ice-Man |
Ich bin ehrlich.
Leider nein, ich habe keine Ahnung wie das funktioniert.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:44 Fr 10.06.2016 | | Autor: | fred97 |
> Ich bin ehrlich.
> Leider nein, ich habe keine Ahnung wie das funktioniert.
Schau mal hier, unter "Korrespondenztabelle",
https://de.wikipedia.org/wiki/Laplace-Transformation
FRED
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