matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Hochschulmathe
  Status Uni-Analysis
    Status Reelle Analysis
    Status UKomplx
    Status Uni-Kompl. Analysis
    Status Differentialgl.
    Status Maß/Integrat-Theorie
    Status Funktionalanalysis
    Status Transformationen
    Status UAnaSon
  Status Uni-Lin. Algebra
    Status Abbildungen
    Status ULinAGS
    Status Matrizen
    Status Determinanten
    Status Eigenwerte
    Status Skalarprodukte
    Status Moduln/Vektorraum
    Status Sonstiges
  Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Algebra
    Status Zahlentheorie
  Status Diskrete Mathematik
    Status Diskrete Optimierung
    Status Graphentheorie
    Status Operations Research
    Status Relationen
  Status Fachdidaktik
  Status Finanz+Versicherung
    Status Uni-Finanzmathematik
    Status Uni-Versicherungsmat
  Status Logik+Mengenlehre
    Status Logik
    Status Mengenlehre
  Status Numerik
    Status Lin. Gleich.-systeme
    Status Nichtlineare Gleich.
    Status Interpol.+Approx.
    Status Integr.+Differenz.
    Status Eigenwertprobleme
    Status DGL
  Status Uni-Stochastik
    Status Kombinatorik
    Status math. Statistik
    Status Statistik (Anwend.)
    Status stoch. Analysis
    Status stoch. Prozesse
    Status Wahrscheinlichkeitstheorie
  Status Topologie+Geometrie
  Status Uni-Sonstiges

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenGewöhnliche DifferentialgleichungenAnfangswertproblem
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Deutsch • Englisch • Französisch • Latein • Spanisch • Russisch • Griechisch
Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - Anfangswertproblem
Anfangswertproblem < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Anfangswertproblem: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:55 Di 25.10.2011
Autor: sigmar

Aufgabe
Bestimmen Sie die Lösung des folgenden Anfangswertproblems:

[mm] y_{1}' [/mm] = [mm] 7y_{1} [/mm] + [mm] 3y_{2} [/mm] - [mm] 15y_{3} [/mm]
[mm] y_{2}' [/mm] = [mm] 3y_{1} [/mm] - [mm] y_{2} [/mm] - [mm] 5y_{3} [/mm]
[mm] y_{3}' [/mm] = [mm] 6y_{1} [/mm] + [mm] 2y_{2} [/mm] - [mm] 12y_{3} [/mm]

[mm] y_{1}(3) [/mm] = 1
[mm] y_{2}(3) [/mm] = 2
[mm] y_{3}(3) [/mm] = 3


Daraus baue ich jetzt erstmal die Matrix A = [mm] \pmat{ 7 & 3 & -15 \\ 3 & -1 & -5 \\ 6 & 2 & -12} [/mm]
Da diese nicht nilpotent ist versuche ich sie in A = [mm] BDB^{-1} [/mm] zu zerlegen um anschließend [mm] e^{tA} [/mm] = [mm] Be^{tD}B^{-1} [/mm] auszurechnen.
Allerdings habe ich jetzt Probleme B zu bestimmen. Ich finde im Skript leider keine genaue Vorschrift, aber bisher haben wir B immer aus den Eigenvektoren von A zusammengebaut. Wenn ich die Matrix allerdings in Wolfram Alpha eingebe erhalte ich die Eigenvektoren [mm] \vektor{5 \\ 0 \\ 3}, \vektor{-1 \\ 3 \\ 0} [/mm] und [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0}, [/mm] daraus kann man zwar eine Matrix bauen, diese ist aufgrund des Nullvektors allerdings nicht invertierbar.
Was mache ich falsch?

        
Bezug
Anfangswertproblem: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:31 Di 25.10.2011
Autor: schachuzipus

Hallo sigmar,


> Bestimmen Sie die Lösung des folgenden
> Anfangswertproblems:
>  
> [mm]y_{1}'[/mm] = [mm]7y_{1}[/mm] + [mm]3y_{2}[/mm] - [mm]15y_{3}[/mm]
>  [mm]y_{2}'[/mm] = [mm]3y_{1}[/mm] - [mm]y_{2}[/mm] - [mm]5y_{3}[/mm]
>  [mm]y_{3}'[/mm] = [mm]6y_{1}[/mm] + [mm]2y_{2}[/mm] - [mm]12y_{3}[/mm]
>  
> [mm]y_{1}(3)[/mm] = 1
>  [mm]y_{2}(3)[/mm] = 2
>  [mm]y_{3}(3)[/mm] = 3
>  
> Daraus baue ich jetzt erstmal die Matrix A = [mm]\pmat{ 7 & 3 & -15 \\ 3 & -1 & -5 \\ 6 & 2 & -12}[/mm]
>  
> Da diese nicht nilpotent ist versuche ich sie in A =
> [mm]BDB^{-1}[/mm] zu zerlegen um anschließend [mm]e^{tA}[/mm] =
> [mm]Be^{tD}B^{-1}[/mm] auszurechnen.
>  Allerdings habe ich jetzt Probleme B zu bestimmen. Ich
> finde im Skript leider keine genaue Vorschrift, aber bisher
> haben wir B immer aus den Eigenvektoren von A
> zusammengebaut. Wenn ich die Matrix allerdings in Wolfram
> Alpha eingebe erhalte ich die Eigenvektoren [mm]\vektor{5 \\ 0 \\ 3}, \vektor{-1 \\ 3 \\ 0}[/mm]
> und [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 0},[/mm] daraus kann man zwar eine Matrix
> bauen, diese ist aufgrund des Nullvektors allerdings nicht
> invertierbar.

Der Nullvektor ist per definitionem niemals ein Eigenvektor!

Deine Matrix $A$ ist nicht diagonalisierbar, sie hat [mm] $\lambda=-2$ [/mm] als dreifachen Eigenwert, der zugeh. Eigenraum hat aber Dimension 2.

Da musst du dir anders behelfen, schaue mal hier

http://de.wikipedia.org/wiki/Matrixexponential

unter "allgemeiner Fall"

>  Was mache ich falsch?

Gruß

schachuzipus


Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.unimatheforum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]