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Guten Tag.
Bin ein wenig verzweifelt was an paar Aufgaben angeht. Ware leider lange krank und muss nun ein paar Übungsblätter nachholen. Da ich die Vorlesungen nicht besuchen konnte , habe ich nicht wirklich einen Plan.
Gegeben ist das AWP y’ = –2∙x∙y² mit y(–1) = 0,5
Zeigen Sie, dass y = 1/ 1+ [mm] x^2 [/mm] eine Lösung ist.
Um ehrlich zu sein, habe ich hier einmal einen Ansatz- Ich weiß das die Stammfunktion der ersten obigen Ableitung so aussieht :
y = -1/3 * [mm] x^2 [/mm] * [mm] y^3
[/mm]
2. Aufgabe
32. Lösen Sie folgende DGL durch „Trennung der Variablen“ und ermitteln Sie
anschließend die spezielle Lösung durch den gegebenen Punkt:
y’ = 2xy² mit f(0)=1
Nach umstellen : [mm] 1/y^2 [/mm] dy = 2x dx
Nach Integration :
-1/y = [mm] x^2 [/mm] + c
Auch leider hier weiß ich nicht weiter. Bitte um Hilfe ich habe es echt nötig.
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Hiho,
> Um ehrlich zu sein, habe ich hier einmal einen Ansatz- Ich
> weiß das die Stammfunktion der ersten obigen Ableitung so
> aussieht :
>
> y = -1/3 * [mm]x^2[/mm] * [mm]y^3[/mm]
Blödsinn. Wie willst du eine "Stammfunktion" finden, wie willst du überhaupt integrieren? y ist eine Funktion von x!
Das geht nicht so einfach.
Du sollst doch nur zeigen, dass dein gegebenes y die gegebene DGL erfüllt.
D.h. Einsetzen und zeigen, dass die Gleichung stimmt. Da musst du nicht mal nachdenken.
Was ist y'?
> 2. Aufgabe
>
> 32. Lösen Sie folgende DGL durch „Trennung der
> Variablen“ und ermitteln Sie
> anschließend die spezielle Lösung durch den gegebenen
> Punkt:
>
> y’ = 2xy² mit f(0)=1
>
> Nach umstellen : [mm]1/y^2[/mm] dy = 2x dx
>
> Nach Integration :
>
> -1/y = [mm]x^2[/mm] + c
>
> Auch leider hier weiß ich nicht weiter.
Wieso hörst du auch auf?
Was willst du denn bestimmen? Alle y, die das erfüllen.
Wie wäre es denn mal dann weiter nach y umzuformen und das c durch den Anfangswert zu bestimmen?
Gruß
Gono.
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Tatsächlich bei der ersten kommt 0,5 raus wenn man einfach nur für y den gegebenen Wert einsetzt. y ' steht für die erste Ableitung ( dy/dx ) .
Zur zweiten Aufgabe:
-1/y = [mm] x^2 [/mm] + C da muss ich dann einfach nur mit dem Kehrwert arbeiten also ---> y = [mm] -1/x^2 [/mm] + c
So für die Konstante C muss ich jetzt y in die Gleichung einsetzen und dann nach C auflösen wenn ich mich nicht irre oder? Anschließend meinen 0 Wert einsetzen?
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-1/y = [mm] x^2 [/mm] + c hätte wirklich gedacht , das es mit dem Reziprokenwert funktioniert. 1/y = [mm] x^2 [/mm] + C / -1 --> Kehrwert ---> -1/ [mm] (x^2 [/mm] + C)
Zur Auflösung nach C kriege ich -1 raus also:
1 = -1/C so nach auflösen kommt -1 raus .
Wenn ich ja x mit dem Wert 0 einbeziehen würde , würde nichts sinvolles rauskommen da man durch 0 teilt.
1 = -1/0 + C
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:02 So 15.06.2014 | | Autor: | DieAcht |
> -1/y = [mm]x^2[/mm] + c hätte wirklich gedacht , das es mit dem
> Reziprokenwert funktioniert. 1/y = [mm]x^2[/mm] + C / -1 -->
> Kehrwert ---> -1/ [mm](x^2[/mm] + C)
Ich glaube, dass du das Richtige meinst. Es gilt:
[mm] -\frac{1}{y}=x^2+C
[/mm]
[mm] $\Rightarrow y=-\frac{1}{x^2+C}$.
[/mm]
> Zur Auflösung nach C kriege ich -1 raus also:
>
> 1 = -1/C so nach auflösen kommt -1 raus .
Ja.
> Wenn ich ja x mit dem Wert 0 einbeziehen würde , würde
> nichts sinvolles rauskommen da man durch 0 teilt.
> 1 = -1/0 + C
Du hast doch bereits oben [mm] $x=0\$ [/mm] gesetzt! [mm] $y\$ [/mm] hängt doch
von [mm] $x\$ [/mm] ab. Wir haben
[mm] y=y(x)=-\frac{1}{x^2+C}$,
[/mm]
sodass wir mit der Bedingung
[mm] $y(0)\overset{!}{=}1\$
[/mm]
[mm] \Rightarrow y(0)=-\frac{1}{0^2+C}=-\frac{1}{C}\overset{!}{=}1
[/mm]
unser [mm] $C\$ [/mm] mit [mm] $C=-1\$ [/mm] und somit die Lösung
[mm] $y=-\frac{1}{x^2+C}=-\frac{1}{x^2-1}=\frac{1}{1-x^2}$
[/mm]
erhalten.
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Ich bedanke mich bei dir ! Ich sollte ein wenig an der Darstellung der Aufgaben üben wenn ich sie hier poste. Sorry für die unannehmlichkeiten
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![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]"){kind=small}
