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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 02:34 Mo 10.11.2008 | | Autor: | Schloss |
| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass die nachstehenden Aussagen über reelle Zahlen aus den Anordnungsaxiomen folgen |
Hallo,
(i)Für alle [mm] a,b\in\IR [/mm] gilt: [mm] 2ab\lea²+b²
[/mm]
man braucht ja nur die binomische formel daraus umformen, aber wie formuliere ich das dann?
(iii) Für alle a,b,c [mm] \in\IR [/mm] mit a<b und 0<c<1 gilt: a<ca+(1-c)b<b
da komm ich irgendwie nur auf c>1, wenn ich zuerst nur a<ca+(1-c)b auflöse. bin wahrscheinlich zu müde.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 04:00 Mo 10.11.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Zeigen Sie, dass die nachstehenden Aussagen über reelle
> Zahlen aus den Anordnungsaxiomen folgen
> Hallo,
> (i)Für alle [mm]a,b\in\IR[/mm] gilt: [mm]2ab\lea²+b²[/mm]
Lass' bitte Leerzeichen vor/nach dem Zeichen [mm] [nomm]$\le$[/nomm] [/mm] stehen:
Oben steht also $2ab [mm] \le a²+b²\,.$ [/mm] (So, wie Du es abgetippt hattest, wurde das [mm] $\le$ [/mm] gar nicht angezeigt.)
Falls Du weißt, dass für jedes $x$ eines angeordneten Körpers $K$, gilt, dass [mm] $x^2 \ge [/mm] 0$ (mit [mm] $0=0_K$), [/mm] so starte doch so:
Es gilt für $a,b [mm] \in [/mm] K$: $a-b [mm] \in [/mm] K$ [mm] $\Rightarrow$ $(a-b)^2 \ge [/mm] 0$ [mm] $\Rightarrow$... [/mm]
> man braucht ja nur die binomische formel daraus umformen,
> aber wie formuliere ich das dann?
Den eigentlichen Beweis solltest Du so führen, dass Du aus einer wahren Aussage die Gültigkeit der Behauptung folgerst. Bitte achte darauf! Also mal grob, was ich meine:
Hier kann man natürlich rechnen:
$2ab [mm] \le a^2+b^2$
[/mm]
[mm] $\gdw$
[/mm]
[mm] $(a-b)^2 \ge 0\,.$
[/mm]
Diese Rechnung stimmt natürlich auch so, obwohl man für die zu beweisende Aussage die Richtung $2ab [mm] \le a^2+b^2 \Rightarrow (a-b)^2 \ge [/mm] 0$ gar nicht braucht. Wichtig ist halt oben die Folgerung [mm] $\Leftarrow$ [/mm] und das die letztstehende Aussage wahr ist.
Also:
Um $2ab [mm] \le a^2+b^2$ [/mm] zu beweisen, sollte man also eigentlich anfangen mit:
Es gilt [mm] $(a-b)^2 \ge [/mm] 0$. Dann folgt... (jetzt ein paar Zwischenschritte) ... . Dann folgt $2ab [mm] \le a^2+b^2\,.$
[/mm]
> (iii) Für alle a,b,c [mm]\in\IR[/mm] mit a<b und 0<c<1 gilt:
> a<ca+(1-c)b<b
> da komm ich irgendwie nur auf c>1, wenn ich zuerst nur
> a<ca+(1-c)b auflöse. bin wahrscheinlich zu müde.
Auch hier: Aus einer wahren Aussage musst Du die Behauptung folgern. Hier gilt zunächst
[mm] $a=(c+(1-c))a=c*a+(1-c)a\,.$
[/mm]
Nun ist $1-c > [mm] 0\,.$ [/mm] also liefert $a <b$ dann $(1-c)a < [mm] (1-c)b\,.$ [/mm] Bastel das mal zusammen.
Analog:
$b=c*b+(1-c)b$ und wegen $c > 0$ gilt $cb > ca$...
Gruß,
Marcel
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