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| Aufgabe | | Der Querschnitt eines unterirdischen Entwässerungskanals ist ein Rechteck mit aufgesetztem Halbkreis. Wie sind Breite und Höhe des Rechtecks zuwählen, damit die Querschnittsfläche 8m² groß ist und zur Ausmauerung des Kanals möglichst wenig Material benötigt wird? |
A ges = [mm] \pi*r² [/mm] / 2 + a *b
A Rechteck = a * b = 8 also a = 8 /b
ich komm hier irgendwie nicht weiter wäre nett wenn jemand nen Tipp oder ne Idee geben kann....
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Hi, wollte hier jetzt meine erste Antowrt in diesem Forum schreiben, suche aber schon seit einer halben stunden die Möglichkeit wo ich diese Antwort eintragen kann.... stehe zwar da als "ich schreibe die antwort schon", aber dann passiert nix weiter
Also dann halt jetzt so:
Gesamtfläche = [mm] (a/2)^2*\pi/2 [/mm] + a*b
Umfang = a+b [mm] \pi [/mm] * a/2
aus [mm] 8m^2=(a/2)^2*\pi/2 [/mm] + a*b folgt: [mm] b=8m^2/a-a*\pi*1/8
[/mm]
In den Umfang b so einsetzen. Den Umfang dann als Funktion von a betrachten und ableiten. Dann gleich Null setzen, damit hat man die Extremwerte. Nur einer davon wird Sinn machen, falls es überhaupt mehrere gibt. Mit dem ausgerechneten Wert für a dann b ausrechnen (z.B. mit der Umfangs-Formel)
lg
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(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 11:32 Sa 23.02.2008 | | Autor: | dergee |
In der Funktion, die den Umfang beschreibt ist ein Fehler aufgetaucht, der möglicherweise aber ein Formatierungsproblem ist.
Richtig muss die Funktion heißen
[mm] \Eqn{U = \pi * r + a + 2b} [/mm] mit [mm] \Eqn{r = a/2}
[/mm]
führt zu
[mm] \Eqn{U = a(\bruch{\pi}{2} + 1) + 2b}
[/mm]
Die Fläche war
[mm] \Eqn{A = a * b + \bruch{\pi r^2}{2} = 8}
[/mm]
Dieser Ausdruck wie oben geschildert, nach b umgestellt (das ist einfacher in den Umfang einzusetzen, als nach a umgestellt)
[mm] \eqn{b = (8 - \bruch{\pi * r^2}{2}) \bruch{1}{a}}
[/mm]
Damit lässt sich der Umfang schreiben als
[mm] \eqn{U = (1 + \bruch{\pi}{4})a + \bruch{16}{a}}
[/mm]
Diese Funktion muss nach einem Extremum untersucht werden, was wie bereits gesagt heißt, nach a ableiten und Null setzen. Da im Derivat des Umfangs ein quadratisches a vorkommen wird, sind zwei Ergebnisse zu erwarten, welche interpretiert werden müssen.
[mm] \eqn{\bruch{dU}{da}=(1 + \bruch{\pi}{4}) - \bruch{16}{a^2}=0}
[/mm]
woraus folgt
[mm] \eqn{a = \wurzel{\bruch{16}{1+\bruch{\pi}{4}}} = \pm 2,99359}
[/mm]
Es ist logisch, dass das positive Ergebnis das gesuchte ist. Damit können die Größen b und r bestimmt werden.
[mm] \eqn{r = a/2 = 1,49679}
[/mm]
[mm] \eqn{b = (8 - \bruch{\pi*r^2}{2})\bruch{1}{a} = 1,49679}
[/mm]
Zur Kontrolle kann nachgerechnet werden
[mm] \eqn{U = 8,33834 m} [/mm] und [mm] \eqn{A = 8 m^2}
[/mm]
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