Anzahl Untervektorräume < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:17 Fr 30.11.2007 | | Autor: | Rutzel |
| Aufgabe | | Wieviele Unterräume jeder Dimension enthält der Vektorraum [mm] (\IF_5)^3? [/mm] |
Dim0: span([0,0,0])
Dim1: Werden aufgespannt von einem beliebigen, vom Nullv. verschiedenen Vektor => Anzahl: [mm] 5^3-1=124
[/mm]
Dim2: Werden aufgespannt von zwei beliebigen, vom Nullvektor verschiedenen, linear unabh. Vektoren. => Anzahl: [mm] 5^3-1=124
[/mm]
Dim3: [mm] (\IF_5)^3
[/mm]
Anzahl gesamt: 1+124+124+1=250
Ist dies richtig? Falls ja, lässt sich das ganz auch "mathematischer" begründen?
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> Wieviele Unterräume jeder Dimension enthält der Vektorraum
> [mm](\IF_5)^3?[/mm]
> Dim0: span([0,0,0])
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> Dim1: Werden aufgespannt von einem beliebigen, vom Nullv.
> verschiedenen Vektor => Anzahl: [mm]5^3-1=124[/mm]
>
> Dim2: Werden aufgespannt von zwei beliebigen, vom
> Nullvektor verschiedenen, linear unabh. Vektoren. =>
> Anzahl: [mm]5^3-1=124[/mm]
Hallo,
das stimmt nicht.
Der zweite Vektor ist nicht beliebig! Er muß vom ersten linear unabhängig sein.
Dann mußt Du noch darüber meditieren, daß von den entstehenden Unterräumen welche gleich sein könnten!
Gruß v. Angela
>
> Dim3: [mm](\IF_5)^3[/mm]
>
> Anzahl gesamt: 1+124+124+1=250
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> Ist dies richtig? Falls ja, lässt sich das ganz auch
> "mathematischer" begründen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:16 So 02.12.2007 | | Autor: | andreas |
hi
also in deiner ersten frage warst du schon auf dem richtigen weg. bei den eindimensionalen musst du allerdings eben aufpassen, dass jeweils vier vom nullvektor verschiedene vektoren den selben unterraum aufspannen.
bei den zweidimensionalen würde ich es so angehen, dass ich eine symmetrisch bilinearform (so eine art standardskalarprodukt) auf dem raum definieren würde und dann immer geeigenet komplemente wählen würde. hattet ihr soetwas ähnliches schon in der vorlesung?
ansonsten kann man das natürlich auch mit "brute force" lösen in dem man alle hinschreibt, aber das könnte wohl schon recht aufwendig werden.
> (außerdem habe ich noch das hier
> ![[]](/images/popup.gif) klick
> gefunden. hier ist mire jedoch unklar, wie er auf die
> anzahl an möglichkeiten kommt, müssten diese nicht der
> fakultät enstprechen? er zieht im ersten schritt 1 ab, im
> zweiten 2 und im dritten 4??)
nein. die vier kommt daher zustande, da du ja die vektoren aus dem von den ersten beiden basis vektoren aufgespannten unterraum nicht mehr nehemen darfst - und dieser enthält ja genau [mm] $2^2 [/mm] = 4$ vektoren.
grüße
andreas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:50 So 02.12.2007 | | Autor: | Rutzel |
> eben aufpassen, dass jeweils vier vom nullvektor
> verschiedene vektoren den selben unterraum aufspannen.
> bei den zweidimensionalen würde ich es so angehen, dass
> ich eine symmetrisch bilinearform (so eine art
> standardskalarprodukt) auf dem raum definieren würde und
> dann immer geeigenet komplemente wählen würde. hattet ihr
> soetwas ähnliches schon in der vorlesung?
nein, sowas hatten wir leider noch nicht.
gruß
rutzel
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