matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Hochschulmathe
  Status Uni-Analysis
    Status Reelle Analysis
    Status UKomplx
    Status Uni-Kompl. Analysis
    Status Differentialgl.
    Status Maß/Integrat-Theorie
    Status Funktionalanalysis
    Status Transformationen
    Status UAnaSon
  Status Uni-Lin. Algebra
    Status Abbildungen
    Status ULinAGS
    Status Matrizen
    Status Determinanten
    Status Eigenwerte
    Status Skalarprodukte
    Status Moduln/Vektorraum
    Status Sonstiges
  Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Algebra
    Status Zahlentheorie
  Status Diskrete Mathematik
    Status Diskrete Optimierung
    Status Graphentheorie
    Status Operations Research
    Status Relationen
  Status Fachdidaktik
  Status Finanz+Versicherung
    Status Uni-Finanzmathematik
    Status Uni-Versicherungsmat
  Status Logik+Mengenlehre
    Status Logik
    Status Mengenlehre
  Status Numerik
    Status Lin. Gleich.-systeme
    Status Nichtlineare Gleich.
    Status Interpol.+Approx.
    Status Integr.+Differenz.
    Status Eigenwertprobleme
    Status DGL
  Status Uni-Stochastik
    Status Kombinatorik
    Status math. Statistik
    Status Statistik (Anwend.)
    Status stoch. Analysis
    Status stoch. Prozesse
    Status Wahrscheinlichkeitstheorie
  Status Topologie+Geometrie
  Status Uni-Sonstiges

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenUni-Komplexe AnalysisAnzahl der Nullstellen
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Informatik • Physik • Technik • Biologie • Chemie
Forum "Uni-Komplexe Analysis" - Anzahl der Nullstellen
Anzahl der Nullstellen < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Komplexe Analysis"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Anzahl der Nullstellen: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:30 So 16.07.2017
Autor: studiseb

Aufgabe
Bestimme die Anzahl der Nullstellen von [mm] f(z)=z^5+iz^3-4z+i [/mm] in {1<|z|<2}.

Hallo Freunde der komplexen Zahlen,

mir fehlt die zündende Idee wie ich die obige Aufgabe sinnvoll behandeln kann und freue mich über Tipps und Lösungsansätze :-)

Der Fundamentalsatz sagt ja dass ich bei einem Polynom vom Grad 5 in [mm] \IC [/mm] fünf Nullstellen haben muss. Jetzt stellt sich also nur die Frage, wie ich feststellen kann, welche dieser 5 Nullstellen auch die Eigenschaft 1<|z|<2 erfüllen. Dafür bräuchte ich Eure hilfe. DANKE!

        
Bezug
Anzahl der Nullstellen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:40 So 16.07.2017
Autor: HJKweseleit

Versuchs mal mit dem Satz von Rouché. (Wickipicki oder so)

Bezug
        
Bezug
Anzahl der Nullstellen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:05 Mo 17.07.2017
Autor: M.Rex

Halllo

Hast du denn schon die fünf Nullstellen bestimmt? Wenn ja, musst du doch nur noch den Betrag dieser Nullstellen berechnen.

Marius

Bezug
        
Bezug
Anzahl der Nullstellen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:11 Di 18.07.2017
Autor: HJKweseleit


> Bestimme die Anzahl der Nullstellen von [mm]f(z)=z^5+iz^3-4z+i[/mm]
> in {1<|z|<2}.

Satz von Rouché anwenden.

Mach so:

Für |z|=1 bilde g(z)=-4z, [mm] h(z)=z^5+iz^3+i [/mm]

Es ist |g(z)|=|-4z|=4|-z|=4  und [mm] |h(z)|\le |z|^5+|i|^3|z|^3+|i|=1+1+1=3, [/mm] also |h(z)|<|g(z)|.

Damit haben g und f=g+h gleich viele Nullstellen im Kreis mit |z|=1. g hat dort nur eine Nullstelle z=0, f somit auch (aber woanders).

Für |z|=2 bilde [mm] g(z)=z^5, h(z)=iz^3-4z+i [/mm]

Es ist [mm] |g(z)|=|z|^5=32 [/mm]  und [mm] |h(z)|\le |i|^3|z|^3+|-4z|+|i|=8+8+1=17, [/mm] also |h(z)|<|g(z)|.

Damit haben g und f=g+h gleich viele Nullstellen im Kreis mit |z|=2. g hat dort eine 5-fach Nullstelle z=0, f somit auch (aber woanders).

Mehr Nullstellen hat f nicht. 4 liegen im angegebenen Kreisring und eine im Innenkreis. Wie sie heißen, ist dabei uninteressant.

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Komplexe Analysis"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.unimatheforum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]