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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:02 So 21.06.2009 | | Autor: | mahmuder |
| Aufgabe 1 | In einem Punkt z0 habe f einen Pol m��ter Ordnung, g einen Pol n-ter Ordnung und h eine
Nullstelle p-ter Ordnung. Man bestimme die Art der Singularitat in z fur die Funktionen
f + g; f + h; fg; fh; f/g; f/h und h/f. |
| Aufgabe 2 | Fur die folgenden Funktionen f und Punkte z0 bestimme man die Art der Singularitat von f
in z. Bei hebbaren Singularitaten bestimme man den Grenzwert von f, fur Pole gebe man die
Ordnung an.
cos(1/z)
tan z |
Bei der 1. Aufgabe weiss ich leider nicht mal, wie ich an die Aufgabe rangehen muss. Wäre um jede Hilfe dankbar.
Bei der 2. Aufgabe weiss ich für das die singularität 0 und pi/2 ist. die fkt. sind ja auch periodisch. kann man dann sagen das sind pole? und die ordnung ist beide male unendlich?
muss morgen abgeben bin leider spät dran. vielen dank um jede hilfe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:09 Mo 22.06.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> In einem Punkt z0 habe f einen Pol m-ter
> Ordnung, g einen Pol n-ter Ordnung und h eine
> Nullstelle p-ter Ordnung. Man bestimme die Art der
> Singularitat in z für die Funktionen
> f + g; f + h; fg; fh; f/g; f/h und h/f.
> Für die folgenden Funktionen f und Punkte z0 bestimme man
> die Art der Singularitat von f
> in z. Bei hebbaren Singularitaten bestimme man den
> Grenzwert von f, fur Pole gebe man die
> Ordnung an.
>
> cos(1/z)
>
> tan z
> Bei der 1. Aufgabe weiss ich leider nicht mal, wie ich an
> die Aufgabe rangehen muss. Wäre um jede Hilfe dankbar.
Geh von der Definition der Pole aus: Die Funktion
[mm] $f_1(z) [/mm] := [mm] (z-z_0)^m [/mm] f(z) $
hat eine hebbare Singularität mit [mm] $f_1(z_0)\not=0$, [/mm] ebenso [mm] $g_1(z) [/mm] := [mm] (z-z_0)^n [/mm] g(z) $.
Da h eine Nullstelle der Ordnung p hat, ist $h(z) = [mm] (z-z_0)^p h_1(z)$ [/mm] mit [mm] $h_1(z_0)\not=0$.
[/mm]
Für f+g musst du unterscheiden zwischen $n<m$, $n>m$ und $n=m$.
Für g+h frage dich: was verändert die Addition von h an der Ordnung des Pols?
Für die Produkte und Quotienten kannst du direkt die Definition benutzen, das heisst zum Beispiel
[mm] $\bruch{f_1(z)}{g_1(z)} [/mm] = [mm] (z-z_0)^{m-n} \bruch{f(z)}{g(z)}$
[/mm]
hat eine hebbare Singularität in [mm] $z_0$. [/mm]
Usw.
> Bei der 2. Aufgabe weiss ich für das die singularität 0 und
> pi/2 ist. die fkt. sind ja auch periodisch. kann man dann
> sagen das sind pole? und die ordnung ist beide male
> unendlich?
Pole unendlicher Ordnung gibt es nicht; du meinst vermutlich Singularitäten. Und es sind nicht in beiden Fällen Pole.
Zum Tangens: schreibe ihn als Quotient von Sinus und Cosinus und überlege dir, von welcher Ordnung die Nullstellen des Cosinus sind. Wegen der Periodizität musst du dir das nur für [mm] $\pi/2$ [/mm] überlegen.
Viele Grüße
Rainer
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