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(Frage) überfällig  | | Datum: | 16:31 Do 22.09.2016 | | Autor: | Wurstus |
| Aufgabe | A1: Kalkulieren Sie die normierten, irreduziblen Polynome vierten Grades in [mm] $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}[x]$.
[/mm]
A2: Sei [mm] $\mathbb{F}$ [/mm] ein Körper mit $q$ Elementen und $n$ eine positive, ganze Zahl. Zeigen Sie, dass in [mm] $\mathbb{F}[x]$ [/mm] ein irreduzibles Polynom mit Grad $n$ existiert. |
Zu der ersten Aufgabe wäre meine Endergebnis: Die irreduziblen Polynome vierten Grades sind also [mm] $f_1(x) [/mm] = [mm] x^4+x^3+x^2+x+1$,\quad $f_2(x)=x^4+x^3+1$,\quad $f_3(x)=x^4+x^2+x$ \quad [/mm] und [mm] \quad $f_4(x)=x^4+x+1$.
[/mm]
Zur zweiten Aufgabe: Nach Satz 2.12 ist bekannt, dass jeder endliche Körper [mm] $p^n$ [/mm] Elemente besitzt, wobei $p$ eine beliebige Primzahl und $n$ eine beliebige positive, ganze Zahl ist. Nach Lemma 2.11 ist bekannt, dass jeder endliche Körper einen zu [mm] $\mathbb{Z}_p$ [/mm] isomorphen Unterkörper besitzt. Also gilt dann für einen endlichen Körper [mm] $\mathbb{F}$ [/mm] und der entsprechenden Primzahl $p$
[mm] $\mathbb{Z}_p[x] \subseteq \mathbb{F}[x]$.
[/mm]
Aus Korollar 3.13 lässt sich nun folgern, dass in [mm] $\mathbb{Z}_p[x]$ [/mm] ein irreduzibles Polynom mit Grad $n$ existiert und damit auch in [mm] $\mathbb{F}[x]$. [/mm] (Korollar 3.13 sagt aus das es zu jedem n ein irreduzibles Polynom mit Grad n in [mm] Z_P[x] [/mm] existiert.)
Eigenlich möchte ich nur wissen, ob die Lösungen so hinhauen oder ob ich eine Komplikation übersehen habe.
Vielen Dank schonmal!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:20 So 25.09.2016 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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