Aussage über Reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:32 Mi 04.05.2011 | | Autor: | al3pou |
| Aufgabe | Ist die folgende Aussage wahr? Begründen Sie Ihre Antwort! Ist sie falsch, durch ein Gegenbeispiel wiederlegen.
Es sei [mm] (a_{n}) [/mm] eine Folge reeller Zahlen. Die Reihe [mm] \summe_{n=0}^{\infty} a_{n} [/mm] ist konvergent, wenn gilt:
- für jedes [mm] \varepsilon [/mm] > 0 existiert ein [mm] n_{0} \in \IN [/mm] , so dass für alle m [mm] \ge [/mm] n > [mm] \n_{0} [/mm] gilt: [mm] |\summe_{k=n}^{m} a_{k}| [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] |
Wie soll das gehen? Ich hab mir schon länger darüber den Kopf zerbrochen, aber komme zu keiner Idee oder Lösungsansatz.
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Moin al3pou,
> Ist die folgende Aussage wahr? Begründen Sie Ihre Antwort!
> Ist sie falsch, durch ein Gegenbeispiel wiederlegen.
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> Es sei [mm](a_{n})[/mm] eine Folge reeller Zahlen. Die Reihe
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} a_{n}[/mm] ist konvergent, wenn gilt:
>
> - für jedes [mm]\varepsilon[/mm] > 0 existiert ein [mm]n_{0} \in \IN[/mm] ,
> so dass für alle m [mm]\ge[/mm] n > [mm]n_{0}[/mm] gilt: [mm]|\summe_{k=n}^{m} a_{k}|[/mm] < [mm]\varepsilon[/mm]
> Wie soll das gehen? Ich hab mir schon länger darüber den
> Kopf zerbrochen, aber komme zu keiner Idee oder
> Lösungsansatz.
Es handelt sich um das Cauchykriterium für Reihenkonvergenz. Betrachte die Folge [mm] S_n:=\sum_{k=0}^n a_k. [/mm] (Diese Folge konvergiert genau dann, wenn [mm] \summe_{n=0}^{\infty} a_{n} [/mm] konvergiert.)
Konvergiert [mm] S_n, [/mm] so ist aufgrund der Charakterisierung in [mm] \IR [/mm] und [mm] \IC [/mm] die Folge [mm] S_n [/mm] eine Cauchyfolge. Nun überprüfe mal, was das heißt.
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:09 Mi 04.05.2011 | | Autor: | al3pou |
> Moin al3pou,
> > Ist die folgende Aussage wahr? Begründen Sie Ihre
> Antwort!
> > Ist sie falsch, durch ein Gegenbeispiel wiederlegen.
> >
> > Es sei [mm](a_{n})[/mm] eine Folge reeller Zahlen. Die Reihe
> > [mm]\summe_{n=0}^{\infty} a_{n}[/mm] ist konvergent, wenn gilt:
> >
> > - für jedes [mm]\varepsilon[/mm] > 0 existiert ein [mm]n_{0} \in \IN[/mm] ,
> > so dass für alle m [mm]\ge[/mm] n > [mm]n_{0}[/mm] gilt: [mm]|\summe_{k=n}^{m} a_{k}|[/mm]
> < [mm]\varepsilon[/mm]
> > Wie soll das gehen? Ich hab mir schon länger darüber
> den
> > Kopf zerbrochen, aber komme zu keiner Idee oder
> > Lösungsansatz.
> Es handelt sich um das Cauchykriterium für
> Reihenkonvergenz. Betrachte die Folge [mm]S_n:=\sum_{k=0}^n a_k.[/mm]
Betrachtet sei eine Folge, aber [mm] S_{n} [/mm] ist doch eine Reihe.
> (Diese Folge konvergiert genau dann, wenn
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} a_{n}[/mm] konvergiert.)
> Konvergiert [mm]S_n,[/mm] so ist aufgrund der Charakterisierung in
> [mm]\IR[/mm] und [mm]\IC[/mm] die Folge [mm]S_n[/mm] eine Cauchyfolge. Nun überprüfe
> mal, was das heißt.
Naja, wenn ich das jetzt richtig verstanden hab, dann heißt das doch, dass wenn die Folge [mm] a_{n} [/mm] konvergiert, dann konvergiert auch die Reihe oder? Aber ich habe keine Ahnung, wie ich das jetzt zeigen müsste.
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> > Moin al3pou,
> > > Ist die folgende Aussage wahr? Begründen Sie Ihre
> > Antwort!
> > > Ist sie falsch, durch ein Gegenbeispiel wiederlegen.
> > >
> > > Es sei [mm](a_{n})[/mm] eine Folge reeller Zahlen. Die Reihe
> > > [mm]\summe_{n=0}^{\infty} a_{n}[/mm] ist konvergent, wenn gilt:
> > >
> > > - für jedes [mm]\varepsilon[/mm] > 0 existiert ein [mm]n_{0} \in \IN[/mm] ,
> > > so dass für alle m [mm]\ge[/mm] n > [mm]n_{0}[/mm] gilt: [mm]|\summe_{k=n}^{m} a_{k}|[/mm]
> > < [mm]\varepsilon[/mm]
> > > Wie soll das gehen? Ich hab mir schon länger
> darüber
> > den
> > > Kopf zerbrochen, aber komme zu keiner Idee oder
> > > Lösungsansatz.
> > Es handelt sich um das Cauchykriterium für
> > Reihenkonvergenz. Betrachte die Folge [mm]S_n:=\sum_{k=0}^n a_k.[/mm]
> Betrachtet sei eine Folge, aber [mm]S_{n}[/mm] ist doch eine Reihe.
Nein!
[mm] S_n [/mm] ist die Folge der Partialsummen. Den Wert von [mm] \sum_{k=0}^n a_k [/mm] kann man doch immer durch Addition endlich vieler Summanden ausrechnen.
> > (Diese Folge konvergiert genau dann, wenn
> > [mm]\summe_{n=0}^{\infty} a_{n}[/mm] konvergiert.)
> > Konvergiert [mm]S_n,[/mm] so ist aufgrund der Charakterisierung
> in
> > [mm]\IR[/mm] und [mm]\IC[/mm] die Folge [mm]S_n[/mm] eine Cauchyfolge. Nun überprüfe
> > mal, was das heißt.
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> Naja, wenn ich das jetzt richtig verstanden hab, dann
> heißt das doch, dass wenn die Folge [mm]a_{n}[/mm] konvergiert,
> dann konvergiert auch die Reihe oder? Aber ich habe keine
> Ahnung, wie ich das jetzt zeigen müsste.
Nein, falsch verstanden. Du behauptest gerade, dass auch die harmonische Reihe [mm] \sum_{k=0}^\infty \frac1{n} [/mm] konvergiert, denn 1/n ist eine konvergente Nullfolge. Das ist aber ein bekanntes Gegenbeispiel dafür. Die harmonische Reihe divergiert.
Unter der Voraussetzung, dass die Grenzwerte existieren, gilt:
[mm] \lim_{n\to\infty}S_n=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=0}^n a_k=\sum_{k=0}^\infty a_k
[/mm]
Deswegen ist die Konvergenz der Partialsummenfolge und der Reihe äquivalent.
Wenn [mm] S_n [/mm] also eine Cauchyfolge ist, gilt:
Für alle [mm] \varepsilon>0 [/mm] finden wir ein [mm] n_0\in\IN [/mm] mit für alle m,n mit [mm] m,n\geq n_0 [/mm] gilt:
[mm] |S_m-S_n|<\varepsilon
[/mm]
Damit gilt
[mm] |S_m-S_n|=\sum_{k=n}^m a_k<\varepsilon.
[/mm]
Das ist aber deine ursprüngliche Aussage.
LG
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