Aussage zur parameterfreien < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
1.)
Gegeben ist eine Gerade g im Raum durch die Parameterdarstellung:
g = (1;2;3) + r (5;-1;-1) r R
Aud drei verschiedene Art und Weisen soll nun versucht werden, den Parameter r zu eliminieren (rechenfehler sicht nicht enthalten).
x= 1 + 5r
y= 2 - r
z= 3 - r
x + 4y + z = 12
x= 1 + 5r
y= 2 - r
z= 3 - r
x + y + 4z = 15
x= 1 + 5r
y= 2 - r
z= 3 - r
x + 3y + 2z = 13
Die eigentliche Aufgabe lautet nun:
Was können Sie über die Gerade im R³, bezogen auf die parameterfreie Darstellung, aussagen ?
2.)
Gegeben ist eine Gerade g und die Ebene E.
g: x = (-1;5;0) + r (5;-1;-2)
E: x = (3;0;-1) +s (2;1;-1) +t (-1;3;0)
Geben Sie die allgemeinen Bedinungen an, unter denen g
- parallel zur Ebene E verläuft
- in der Ebene E liegt
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Hi,
ich wollte mal frage ob meine Antworten richtig sind. Eine Antwort wäre echt sehr nett. Danke schon in voraus!!!
1.)
Die drei Ergebnisse sind Richtig und stellen dieselbe Gerade dar. Es gibt unendlich viele verschiedene parameterfreie Darstellung von der derselben Gerade.
2.)
Wenn die Gerade g parallel zu der Ebene E verläuft, und wenn g im 90° Winkel zum Normalenvektor der Ebene verläuft.
Wenn sich die Gerade g in der Ebene E befindet, und wenn alle Punkte von g zur Ebene E dazugehören.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:18 Fr 29.08.2008 | | Autor: | Nicodemus |
Hallo Teddybaer!
Deine Aufgabe 1) macht überhaupt keinen Sinn! Die Umwandlung einer 3-dim. Geradengleichung in eine Koordinatenform ist sinnlos, da diese stets eine Ebene im [mm] R^3 [/mm] darstellt!
ok?
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Hi,
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
> 1.)
>
> Gegeben ist eine Gerade g im Raum durch die
> Parameterdarstellung:
>
> g = (1;2;3) + r (5;-1;-1) r R
>
> Aud drei verschiedene Art und Weisen soll nun versucht
> werden, den Parameter r zu eliminieren (rechenfehler sicht
> nicht enthalten).
>
> x= 1 + 5r
> y= 2 - r
> z= 3 - r
> x + 4y + z = 12
>
>
> x= 1 + 5r
> y= 2 - r
> z= 3 - r
> x + y + 4z = 15
>
>
> x= 1 + 5r
> y= 2 - r
> z= 3 - r
> x + 3y + 2z = 13
>
> Die eigentliche Aufgabe lautet nun:
> Was können Sie über die Gerade im R³, bezogen auf die
> parameterfreie Darstellung, aussagen ?
>
>
Eine Gerade in parameterfreier Form im [mm] \IR^3 [/mm] kann nur durch den Schnitt zweier Ebenen dargestellt werden. Von daher verstehe ich nicht, was du oben gerechnet hast.
> 2.)
> Gegeben ist eine Gerade g und die Ebene E.
>
> g: x = (-1;5;0) + r (5;-1;-2)
>
> E: x = (3;0;-1) +s (2;1;-1) +t (-1;3;0)
>
> Geben Sie die allgemeinen Bedinungen an, unter denen g
> - parallel zur Ebene E verläuft
> - in der Ebene E liegt
>
>
>
> Hi,
>
> ich wollte mal frage ob meine Antworten richtig sind. Eine
> Antwort wäre echt sehr nett. Danke schon in voraus!!!
>
> 1.)
> Die drei Ergebnisse sind Richtig und stellen dieselbe
> Gerade dar. Es gibt unendlich viele verschiedene
> parameterfreie Darstellung von der derselben Gerade.
>
>
> 2.)
> Wenn die Gerade g parallel zu der Ebene E verläuft, und
> wenn g im 90° Winkel zum Normalenvektor der Ebene verläuft.
>
> Wenn sich die Gerade g in der Ebene E befindet, und wenn
> alle Punkte von g zur Ebene E dazugehören.
>
Die beiden Sätze sind schwer verständlich, aber ich denke du meinst das richtige. Schreibe das doch mal vernünftig auf. Also:
Eine Gerade g ist parallel zu einer Ebene E, falls der Richtungsvektor der Gerade und der Normalenvektor der Ebene einen 90° Winkel einschließen, d.h. [mm] \vec{v}*\vec{n}=0 [/mm]
Eine Gerade g liegt in der Ebene, wenn sie parallel sind und zusätzlich gilt, das der Stützvektor der Gerade in der Ebene liegt.
Grüße Patrick
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:08 Fr 29.08.2008 | | Autor: | Teufel |
Hallo!
Ich glaube, dass diese rechnungen aus einem Buch/von einem Blatt oder Ähnlichem stammen. Sie sollen sicher nur zeigen, dass aus eienr GEraden im R³ nicht einfach die Parameter entfernt werden können, da man ja verschiedene (Ebenen)gleichungen erhalten kann, wovon hier mal 3 aufgeführt wurden.
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
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> 1.)
>
> Gegeben ist eine Gerade g im Raum durch die
> Parameterdarstellung:
>
> g = (1;2;3) + r (5;-1;-1) r R
>
> Aud drei verschiedene Art und Weisen soll nun versucht
> werden, den Parameter r zu eliminieren (rechenfehler sicht
> nicht enthalten).
>
> I. x= 1 + 5r
> II. y= 2 - r
> III. z= 3 - r
> x + 4y + z = 12
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
ich zeig' Dir mal, was passiert, wenn man das r eliminiert:
I. + 4*II +*III. = I', und man hat nun das GS
I'. x+4y+z=12
II'. y= 2 - r
III'. z= 3 - r ==> III''. r=3-z, das eingesetzt in II' ergibt das System:
I''. x+4y+z=12
II''. y-z=-1
III''. r= 3-z
Alle Punkte (x / y / z) , auf der vorgegebenen Geraden liegen, lösen dieses System, insbesondere lösen sie
I''. x+4y+z=12
II''. y-z=-1,
und dies sind die Gleichungen zweier Ebenen im [mm] \IR^3.
[/mm]
Also ist g der Schnitt dieser beiden Ebenen.
Du ahnst sicher, daß man viele Ebenen finden kann, deren Schnitt die Gerade g ist.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:19 Sa 30.08.2008 | | Autor: | Teddybaer |
Hallo alle zusammen,
vielen Dank für eure Mühe und Hilfe!
Gruß
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