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Aussagenlogik und S-Aussagen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:42 Sa 02.11.2019
Autor: Tobikall

Aufgabe
E bezeichne die Menge aller Äquivalenzrelationen ≡ auf S∗ (S-Aussage) derart, dass für s,t,u ∈ S∗ gilt: (zeige dies)
a) &N&stN&sNt ≡ Ns
b) s ≡ t ⇒ &su ≡&tu
c) die Involutionseigenschaft von '

Es bezeichne dabei ≡ den Schnitt [mm] \cap^{E} [/mm] all dieser Äquivalenzrelationen. Dann heißt (S∗,≡)Aussagenkalkül zur Grundmenge S,und zwei S-Aussagen s,t ∈ S∗ heißen äquivalent falls s ≡ t gilt.

Hallo,

bei obigen Fragen stehe ich aktuell noch etwas auf dem Schlauch, ein Ansatz wäre evtl hilfreich.
Könnte man beginnen damit, dass ≡ =  [mm] \cap^{E} [/mm] eine Äquivalenzrelation auf S∗ ist, wobei s,t,u ∈ S∗?
Nur dann komme ich nicht richtig weiter...

        
Bezug
Aussagenlogik und S-Aussagen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:41 So 03.11.2019
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

hast du mal ein Skript zu deiner VL zum Nachschlagen eurer Notationen?

Gruß,
Gono

Bezug
                
Bezug
Aussagenlogik und S-Aussagen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:30 So 03.11.2019
Autor: Tobikall

na klar, ist einsehbar unter: https://www.math.uni-trier.de/~mattner/2019-10-16_WR_WS_2019-SS_2020.pdf

bezieht sich auf Definition 1.6 auf Seite 20 von 186

Bezug
        
Bezug
Aussagenlogik und S-Aussagen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:31 Mo 04.11.2019
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

dann wollen wir mal:  Vorab, deine Aufgabe hier ist falsch gestellt und nicht mit der im Skript identisch.
Du scheinst also die Aufgabe schon falsch verstanden zu haben.

E bezeichne die Menge aller Äquivalenzrelationen ≡, die folgende Eigenschaften erfüllen:

(1) &s&tu ≡ &&stu,
(2) &st ≡ &ts,
(3) NNs ≡ s,
(4) &N&stN&sNt ≡ Ns,
(5) s ≡ t ⇒ Ns ≡ Nt,
(6) s ≡ t ⇒ &su ≡ &tu.

Nun betrachtest du den Schnitt all dieser ÄR und bezeichest den auch mit ≡ und sollst zeigen:
a) Dass ≡ nun auch eine ÄR ist, die (1)-(6) erfüllt
b) ist ein Teil von a)
c) Dass gilt: $[s]'' = [s]$

Hast du a) gemacht? Oder war deine Frage so formuliert, dass du damit meintest: (1)-(5) hast du selbst hinbekommen und bei (6) scheiterst du?
c) Ist trivial, denn wenn du a) gezeigt hast, gilt ja mit (3): $[s]'' = [Ns]' = [NNs] = [s]$

Gruß,
Gono




Bezug
                
Bezug
Aussagenlogik und S-Aussagen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:43 Mo 04.11.2019
Autor: Tobikall

Hallo Gonozal_IX,

ich habe bisher noch keine der drei Teilaufgaben gelöst.
:
Die Aufgabe a) bezieht sich auf einen Beleg von (4) und die b) auf (6) :)

Mir ist hier einfach nicht schlüssig, wie ich dort den Beweis führen soll und wie meinst du das, dass b) ein Teil von a) sei?

Die c) ist ja somit schonmal so gut wie gelöst, wenn man annimmt, dass die (3) gilt.

Bezug
                        
Bezug
Aussagenlogik und S-Aussagen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:39 Mi 06.11.2019
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

eigentlich ist der Beweis trivial und fast nichts zu zeigen. Denn:

Eine Äquivalenzrelation ist eine zweistellige Relation, die reflexiv, symmetrisch und transitiv ist.
D.h. insbesondere, dass man eine Relation auf einer Menge X auffassen kann als eine Teilmenge des [mm] $X^2$, [/mm] was bei euch auch der Fall zu sein scheint.
Nennen wir diese Teilmenge nun mal $R [mm] \subset X^2$ [/mm]
D.h. man sagt $x [mm] \equiv [/mm] y [mm] \gdw [/mm] (x,y) [mm] \in [/mm] R$

Nun haben wir viele ÄR, die wir mit [mm] $\equiv_i$ [/mm] bezeichnen und die jeweilige dazugehörige Menge sei [mm] $R_i$. [/mm]
Nun macht es Sinn über einen Schnitt zu reden: Der Schnitt all dieser ÄR ist nun also $R = [mm] \bigcap R_i$ [/mm] und die dazugehörige Relation nennen wir mal [mm] $\equiv$. [/mm] Dass das selbst wieder eine ÄR ist, kann man sich leicht überlegen, mal am Beispiel der Reflexivität:

1.) Jedes [mm] R_i [/mm] ist eine Äquivalenzrelation, d.h. reflexiv und daher gilt $(x,x) [mm] \in R_i$ [/mm]
2.) Da nun aber $(x,x) [mm] \in R_i$ [/mm] für alle i ist somit auch $(x,x) [mm] \in [/mm] R$ und daher ist [mm] $\equiv$ [/mm] reflexiv.

Die Argumentation kann man nun für jede Eigenschaft exakt so weiterführen.
z.B. für die Eigenschaft

> &N&stN&sNt ≡ Ns

Es gelte nach Voraussetzung [mm] $\&N\&stN\&sNt \equiv_i [/mm] Ns$ d.h. [mm] $(\&N\&stN\&sNt,Ns) \in R_i$ [/mm] d.h. [mm] $(\&N\&stN\&sNt,Ns) \in [/mm] R$ d.h. [mm] $\&N\&stN\&sNt \equiv [/mm] Ns$

D.h. die Eigenschaften werden von den [mm] $\equiv_i$ [/mm] per Definition auf [mm] $\equiv$ [/mm] vererbt.

Gruß,
Gono

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