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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:29 Mo 04.11.2013 | | Autor: | Zero_112 |
| Aufgabe | | Es sei G eine Gruppe mit |G|=n für [mm] n\in\IN. [/mm] Zeigen Sie, dass |Aut(G)| Teiler von (n-1)! ist. |
Hallo!
Ich habe schon einiges zu dieser Aufgabe gemacht, würde aber gern wissen, ob man da nicht noch das ein oder andere dazuschreiben sollte, ich bin mir mit meinen Ausführungen nämlich nicht 100%ig sicher:
Aut(G) = [mm] \{f:G \to G|f ist Automorphismus\} \subset Bij(G)=\{f:G \to G|f ist bijektiv\}\cong S_n
[/mm]
Mit Lagrange folgt dann ja: |Aut(G)| teilt [mm] |S_n|=n!
[/mm]
Jetzt soll |Aut(G)| aber (n-1)! teilen. Aut(G) ist eine Untergruppe der Menge der Bijektionen (die das neutrale Element fest halten). Fasst man die Automorphismen als Permutationen auf, gibt es n! von diesen. Nun wird das Neutralelement wegen f(e)=e aber festgehalten, also sind es nur noch (n-1)! Permutationen. Ich dachte mir ich betrachte die Einschränkung [mm] G\setminus\{e\}, [/mm] denn dann habe ich ja wenn ich die Automorphismen auf [mm] G\setminus\{e\} [/mm] als Permutationen auffasse, (n-1)!. Also gilt: Aut(G) [mm] \subset Bij(G\setminus\{e\}) \cong S_{n-1}. [/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] |Aut(G)| teilt [mm] |S_{n-1}|=(n-1)!
[/mm]
Kann man das so machen, oder fehlen noch einige Ausführungen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:19 Mo 04.11.2013 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Es sei G eine Gruppe mit |G|=n für [mm]n\in\IN.[/mm] Zeigen Sie,
> dass |Aut(G)| Teiler von (n-1)! ist.
>
> Ich habe schon einiges zu dieser Aufgabe gemacht, würde
> aber gern wissen, ob man da nicht noch das ein oder andere
> dazuschreiben sollte, ich bin mir mit meinen Ausführungen
> nämlich nicht 100%ig sicher:
>
> Aut(G) = [mm]\{f:G \to G|f ist Automorphismus\} \subset Bij(G)=\{f:G \to G|f ist bijektiv\}\cong S_n[/mm]
>
> Mit Lagrange folgt dann ja: |Aut(G)| teilt [mm]|S_n|=n![/mm]
> Jetzt soll |Aut(G)| aber (n-1)! teilen.
Genau.
> Aut(G) ist eine
> Untergruppe der Menge der Bijektionen (die das neutrale
> Element fest halten). Fasst man die Automorphismen als
> Permutationen auf, gibt es n! von diesen. Nun wird das
> Neutralelement wegen f(e)=e aber festgehalten, also sind es
> nur noch (n-1)! Permutationen.
Ja.
> Ich dachte mir ich betrachte
> die Einschränkung [mm]G\setminus\{e\},[/mm] denn dann habe ich ja
> wenn ich die Automorphismen auf [mm]G\setminus\{e\}[/mm] als
> Permutationen auffasse, (n-1)!. Also gilt: Aut(G) [mm]\subset Bij(G\setminus\{e\}) \cong S_{n-1}.[/mm]
Ganz stimmt das so nicht: $Aut(G)$ ist an sich erstmal keine Untergruppe von $Bij(G [mm] \setminus \{ e \})$.
[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] |Aut(G)| teilt [mm]|S_{n-1}|=(n-1)![/mm]
>
> Kann man das so machen, oder fehlen noch einige
> Ausführungen?
Ich wuerd es so machen: gib einen Homomorphismus $Aut(G) [mm] \to [/mm] Bij(G [mm] \setminus \{ e \})$ [/mm] an, und zeige dass dieser wohldefiniert und injektiv ist. Dann wende Lagrange auf das Bild des Homomorphismus an.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:36 Mi 06.11.2013 | | Autor: | Zero_112 |
Moin.
> Ich wuerd es so machen: gib einen Homomorphismus [mm]Aut(G) \to Bij(G \setminus \{ e \})[/mm]
> an, und zeige dass dieser wohldefiniert und injektiv ist.
> Dann wende Lagrange auf das Bild des Homomorphismus an.
>
> LG Felix
>
Ich verstehe nicht ganz, warum hier Injektivität wichtig ist. Aut(G) müsste doch isomorph zum Bild dieses Homomorphismus' sein. Ich verstehe, dass du hierauf hinauswillst:
Wenn g nun jener Homomorphimus ist, dann:
|Aut(G)|=|g(Aut(G))| teilt [mm] |S_{n-1}|=(n-1)! [/mm] (oder? :D), aber das mit der Injektivität leuchtet mir irgendwie nicht ein...
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:48 Mi 06.11.2013 | | Autor: | felixf |
Moin,
> > Ich wuerd es so machen: gib einen Homomorphismus [mm]Aut(G) \to Bij(G \setminus \{ e \})[/mm]
> > an, und zeige dass dieser wohldefiniert und injektiv ist.
> > Dann wende Lagrange auf das Bild des Homomorphismus an.
>
> Ich verstehe nicht ganz, warum hier Injektivität wichtig
> ist.
deswegen:
> Aut(G) müsste doch isomorph zum Bild dieses
> Homomorphismus' sein.
Das gilt nur dann, wenn der Homomorphismus injektiv ist (Homomorphiesatz bzw. 1. Isomorphiesatz).
> Ich verstehe, dass du hierauf hinauswillst:
>
> Wenn g nun jener Homomorphimus ist, dann:
>
> |Aut(G)|=|g(Aut(G))| teilt [mm]|S_{n-1}|=(n-1)![/mm] (oder? :D),
Genau.
LG Felix
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