BEWEIS "Verkehrte" Siebformel < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Beweisen Sie, dass gilt:
[mm] \IP (\bigcap_{i=1}^{n} A_{i}) [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n} (-1)^{i+1} \summe_{1 \le j_{1} \le ... \le j_{i} < n} \IP(\bigcup_{k=1}^{i} A_{j_{k}}), [/mm]
wobei [mm] A_{n} \in \mathcal{F}, [/mm] n [mm] \in \IN [/mm] beliebig. |
Hallo an alle! Kann mmir hier jemand vielleicht etwas auf die Sprünge helfen?
Die Siebformel habe ich schon bewiesen, nun soll ich aber noch diese "verkehrte" Version zeigen. Mein großes Problem: Für mich ist die Formel überhaupt nicht einsichtig!
Wenn ich zum Beispiel nur zwei Mengen [mm] A_{1} [/mm] und A{2} habe, dann ist doch
[mm] \IP (\bigcap_{i=1}^{n} A_{i}) [/mm] =
= [mm] \IP (\bigcap_{i=1}^{2} A_{i}) [/mm] =
= [mm] \IP(A{1} \cap A_{2})
[/mm]
ABER
[mm] \summe_{i=1}^{n} (-1)^{i+1} \summe_{1 \le j_{1} \le ... \le j_{i} < n} \IP(\bigcup_{k=1}^{i} A_{j_{k}}) [/mm] =
= [mm] \summe_{i=1}^{2} (-1)^{i+1} \summe_{1 \le j_{1} \le ... \le j_{i} < 2} \IP(\bigcup_{k=1}^{i} A_{j_{k}}) [/mm] =
= [mm] \IP(A_{1}) [/mm] - [mm] \IP(A_{1}) [/mm] = 0 (wg. des "< 2"!!!)
Wenn ich annehme, dass es sich um einen Fehler in der Angabe handelt, und es " 1 [mm] \le j_{1} [/mm] < ... < [mm] j_{i} \le [/mm] 2" heißen soll (denn alles andere macht für mich gar keinen Sinn), dann ergibt sich stattdessen
= [mm] \IP(A_{1}) [/mm] + [mm] \IP(A_{2}) [/mm] - [mm] \IP(A_{1} \cup \IP(A_{2})
[/mm]
Also ist die Formel in der Angabe ziemlich falsch aufgeschrieben? Oder liegt's an mir???
Danke für Einsichten! 
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:24 Di 25.11.2008 | | Autor: | luis52 |
Moin Tom
>
> Also ist die Formel in der Angabe ziemlich falsch
> aufgeschrieben? Oder liegt's an mir???
>
Das sehe ich genauso. Versuche doch einmal die revidierte Formel zu beweisen.
vg Luis
PS: M.A. nach kann es so heissen:
$ [mm] \IP (\bigcap_{i=1}^{n} A_{i}) [/mm] $ = $ [mm] \summe_{i=1}^{n} (-1)^{i+1} \summe_{1 \le j_{1}<\cdots< j_{i} \le n} \IP(\bigcup_{k=1}^{i} A_{j_{k}}), [/mm] $
PPS: Vielleicht hilft [mm] \IP (\bigcap_{i=1}^{n} A_{i}) =1-\IP (\overline{\bigcap_{i=1}^{n} A_{i}})=1-\IP (\bigcup_{i=1}^{n} \overline{A}_{i}) [/mm] weiter. Uebrigens, dass ich nicht ganz falsch liege mit meiner Vermutung, wird ![[]](/images/popup.gif) hier anscheinend bestaetigt.
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