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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:03 Mo 21.08.2006 | | Autor: | Elbi |
| Aufgabe | a) Seien K ein Körper, V ein endlich-dimensionaler K-Vektorraum und [mm]T \le V[/mm] ein Teilraum von V. Zeigen Sie:
(i) Es gibt einen Teilraum [mm]W \le V[/mm] mit [mm]V=T \oplus W[/mm]
(ii) Die Abbildung [mm]\phi: T \to V/W, T \mapsto T+W[/mm] ist ein Isomorphismus.
b) Es sei [mm]V=\IQ^{5 \times 1}[/mm] und
[mm]T=<\vektor{1 \\ 2 \\ -1 \\ 3 \\ -3} , \vektor{-4 \\ -3 \\ 4 \\ -7 \\ 6} , \vektor{-1 \\ 3 \\ 1 \\ 2 \\ -3} , \vektor{-5 \\ 0 \\ 5 \\ -5 \\ 4} , \vektor{-6 \\ 3 \\ 6 \\ -3 \\ 2}> \le V[/mm] sowie
[mm]U=<\vektor{3 \\ 3 \\ 1 \\ 7 \\ 2} , \vektor{6 \\ -1 \\ -10 \\ 4 \\ -12} , \vektor{1 \\ 2 \\ 3 \\ 4 \\ 5}> \le V[/mm]
Bestimmen Sie die Dim(T). Geben Sie außerdem Basen von T, V/T , [mm]T\capU[/mm] und T+U an. |
N'abend,
bei der Augabe habe ich ja so meine Fragen.
bei a), nun da weiß ich nicht so richtig wie ich das zeigen soll, also mi ist klar, dass ich beim Isomorphismus zeigen muss, dass die Abbildung linear und bijektiv ist. Ja, weiter komm ich aber auch nicht,hmm...
bei b) habe ich schon die Dimension berechnet (also auf l.u Vektoren untersucht und die Anzahl dieser Vektoren ergibt ja dann die Dimension) und komme auf Dim(T)=3.
Eine Base von T, ist ja dann gerade die drei l.u. Vektoren, die ich schon bei der Dimensionsbetrachtung gefunden habe.
Bei V/T habe ich mal wieder keine Ahnung.
[mm]T\capU[/mm] und T+U wollte ich mit dem Zassenhauser Algorithmus machen.
Ich hoffe ihr könnt mir ein wenig helfen, wäre wirklich super super lieb.
Vielen Dank auf jedenfall im voraus!!!
LG
Elbi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:23 Di 22.08.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Elbi!
> a) Seien K ein Körper, V ein endlich-dimensionaler
> K-Vektorraum und [mm]T \le V[/mm] ein Teilraum von V. Zeigen Sie:
>
> (i) Es gibt einen Teilraum [mm]W \le V[/mm] mit [mm]V=T \oplus W[/mm]
> (ii)
> Die Abbildung [mm]\phi: T \to V/W, T \mapsto T+W[/mm] ist ein
> Isomorphismus.
>
> b) Es sei [mm]V=\IQ^{5 \times 1}[/mm] und
>
> [mm]T=<\vektor{1 \\ 2 \\ -1 \\ 3 \\ -3} , \vektor{-4 \\ -3 \\ 4 \\ -7 \\ 6} , \vektor{-1 \\ 3 \\ 1 \\ 2 \\ -3} , \vektor{-5 \\ 0 \\ 5 \\ -5 \\ 4} , \vektor{-6 \\ 3 \\ 6 \\ -3 \\ 2}> \le V[/mm]
> sowie
> [mm]U=<\vektor{3 \\ 3 \\ 1 \\ 7 \\ 2} , \vektor{6 \\ -1 \\ -10 \\ 4 \\ -12} , \vektor{1 \\ 2 \\ 3 \\ 4 \\ 5}> \le V[/mm]
>
> Bestimmen Sie die Dim(T). Geben Sie außerdem Basen von T,
> V/T , [mm]T\capU[/mm] und T+U an.
> N'abend,
>
> bei der Augabe habe ich ja so meine Fragen.
> bei a), nun da weiß ich nicht so richtig wie ich das
> zeigen soll, also mi ist klar, dass ich beim Isomorphismus
> zeigen muss, dass die Abbildung linear und bijektiv ist.
> Ja, weiter komm ich aber auch nicht,hmm...
Bei (i) benutz doch mal den Basisergaenzungssatz.
Und bei (ii) musst du (i) benutzen. Was ist der Kern der Abbildung? Fuer die Surjektivitaet schreib ein Element aus $V$ doch mal mit (i) als Summe eines Elementes aus $T$ und eines aus $W$. Hilft dir das weiter?
> bei b) habe ich schon die Dimension berechnet (also auf
> l.u Vektoren untersucht und die Anzahl dieser Vektoren
> ergibt ja dann die Dimension) und komme auf Dim(T)=3.
> Eine Base von T, ist ja dann gerade die drei l.u.
> Vektoren, die ich schon bei der Dimensionsbetrachtung
> gefunden habe.
Ja.
> Bei V/T habe ich mal wieder keine Ahnung.
Benutze (a), nur dass du $T$ mit $W$ vertauschen tust. Jetzt wende (i) und (ii) an.
> [mm]T\cap U[/mm] und T+U wollte ich mit dem Zassenhauser Algorithmus
> machen.
Also $T + U$ solltest du problemlos hinbekommen, einfach alle erzeugenden Vektoren zusammenschreiben und daraus eine Basis bestimmen...
Bei $T [mm] \cal [/mm] U$ musst du die Standardmethode dazu anwenden. Wenn das bei euch Zassenhauser Algorithmus heisst, dann nimm das.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:36 Mi 23.08.2006 | | Autor: | Elbi |
Okay, danke
Also guck mal, habe ich das jetzt richtig verstanden? Bin mit meiner Begründung nicht wirklich zufrieden:
zu a)(i)
Injektiv: d.h. zu zeigen [mm]Kern\phi = \{0 \}[/mm]
Also [mm]\phi(T)=T+W=0[/mm]
da [mm]\phi(T) \in V/W[/mm] muss [mm]\phi(T)[/mm] "Vielfaches" von W sein damit es in V/W null ist.
[mm]\Rightarrow \phi(T)=T+W=0[/mm]
[mm]\Rightarrow T=0[/mm], denn dann [mm]\phi(T)=W[/mm].
Also ich bin mir da nicht sicher, aber ich bewege mich doch im Moduloraum oder?
Bei Surjektiv verstehe ich nicht was du da meintest, das bekomme ich nicht hin :( könntest du mir das nochmal erklären?
bei b) habe ich wegen V/T eine Frage.
Also verstehe ich es richtig, dass ich sage, dass [mm]V=U\oplusT[/mm] dann wende ich den Isomorphismus an und habe [mm]\phi : U \to V/T , U \mapsto U+T[/mm]. Dann wende ich darauf U an und dann habe ich eine BAse von V/T?!
Vielen Dank im voraus.
LG
Elbi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:01 Mi 23.08.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Elbi!
> Also guck mal, habe ich das jetzt richtig verstanden? Bin
> mit meiner Begründung nicht wirklich zufrieden:
>
> zu a)(i)
> Injektiv: d.h. zu zeigen [mm]Kern\phi = \{0 \}[/mm]
> Also
> [mm]\phi(T)=T+W=0[/mm]
wobei 0 hier die $0$ in $V/W$ ist, also $W$. (Wenn du das nicht verstehst, ueberleg mal wie (formal) die Elemente in $V/W$ aussehen, wie die Addition definiert ist und was das Nullelement dort ist.)
Und $T$ ist ein Element aus $V$, ja? Und kein Untervektorraum oder sonstwas.
> da [mm]\phi(T) \in V/W[/mm] muss [mm]\phi(T)[/mm] "Vielfaches" von W sein
> damit es in V/W null ist.
Nein. Es muss genau $W$ sein.
> [mm]\Rightarrow \phi(T)=T+W=0[/mm]
> [mm]\Rightarrow T=0[/mm], denn dann
Nein, $T$ sollte sicher nicht gleich $0$ sein.
> [mm]\phi(T)=W[/mm].
>
> Also ich bin mir da nicht sicher, aber ich bewege mich doch
> im Moduloraum oder?
$T$ ist in $V$, [mm] $\phi(T) [/mm] = T + W$ ist in $V/W$
> Bei Surjektiv verstehe ich nicht was du da meintest, das
> bekomme ich nicht hin :( könntest du mir das nochmal
> erklären?
Wie sieht ein beliebiges Element aus $V/W$ aus? Es ist von der Form $v + W$, $v [mm] \in [/mm] V$. So. Nun ist $V = T [mm] \oplus [/mm] W$, also kannst du $v = t + w$ schreiben mit $t [mm] \in [/mm] T$, $w [mm] \in [/mm] W$. Bekommst du jetzt eine Idee? Denk mal etwas drueber nach.
> bei b) habe ich wegen V/T eine Frage.
> Also verstehe ich es richtig, dass ich sage, dass
> [mm]V=U\oplusT[/mm] dann wende ich den Isomorphismus an und habe
> [mm]\phi : U \to V/T , U \mapsto U+T[/mm]. Dann wende ich darauf U
> an und dann habe ich eine BAse von V/T?!
Du wendest diesen Isomorphismus auf eine Basis von $U$ an. Dies liefert dir dann eine Basis von $V/T$.
LG Felix
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