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| Aufgabe | | Finden Sie eine Basis [mm] v_1, v_2, v_3 [/mm] des [mm] \IR³ [/mm] derart, dass [mm] v_1, v_2 [/mm] im Lösungsraum der Gleichung x+y+z = 0 liegen und [mm] v_2, v_3 [/mm] im Lösungsraum der Gleichung x-z = 0 liegen. |
Also ich hab so gut wie keine Ahnung wie ich rangehen soll.
Die drei Vektoren müssen ja auf jedenfall linear unabhängig sein, aber das kann ich ja erst am Ende überprüfen.
Ich muss mir wahrscheinlich ein lineares Gleichungssystem aufstellen?
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> Finden Sie eine Basis [mm]v_1, v_2, v_3[/mm] des [mm]\IR³[/mm] derart, dass
> [mm]v_1, v_2[/mm] im Lösungsraum der Gleichung x+y+z = 0 liegen und
> [mm]v_2, v_3[/mm] im Lösungsraum der Gleichung x-z = 0 liegen.
> Also ich hab so gut wie keine Ahnung wie ich rangehen
> soll.
> Die drei Vektoren müssen ja auf jedenfall linear
> unabhängig sein, aber das kann ich ja erst am Ende
> überprüfen.
>
> Ich muss mir wahrscheinlich ein lineares Gleichungssystem
> aufstellen?
Es geht wohl auch ohne großen Aufwand. Die Aufgabe
erlaubt eine große Vielfalt von Lösungen, wovon nur
eine einzige zu finden ist.
Man kann etwa sehen, dass sowohl [mm] v_2 [/mm] als auch [mm] v_3
[/mm]
die Gleichung x=z erfüllen müssen. Wählen wir mal 1
für die 1. und 3. Komponente von [mm] v_2. [/mm] Wegen der
Gleichung x+y+z=0 erhält man sofort auch die y-Komponente
von [mm] v_2.
[/mm]
Auch für [mm] v_3 [/mm] können wir ohne weiteres x=z=1 annehmen
und z.B. die y-Komponente gleich 0 setzen (dann werden
jedenfalls [mm] v_2 [/mm] und [mm] v_3 [/mm] linear unabhängig).
Auch für [mm] v_1 [/mm] kann man dann (immer noch mit großer
Freiheit) einen passenden Vektor finden.
LG Al-Chw.
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Also ich hab jetz folgende Basis gefunden:
[mm] v_1 [/mm] = (2,-3,1) [mm] v_2 [/mm] = (1,-2,1) [mm] v_3 [/mm] = (1,0,1)
Die sind ja linear abhängig, aber kann mir noch jmd. sagen, wie ich zeige, dass sie auch ein Erzeugendensystem bilden?
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> Also ich hab jetz folgende Basis gefunden:
> [mm]v_1[/mm] = (2,-3,1) [mm]v_2[/mm] = (1,-2,1) [mm]v_3[/mm] = (1,0,1)
> Die sind ja linear abhängig,
Hallo,
das wäre schlecht...
Du meinst sicher "unabhängig".
> aber kann mir noch jmd.
> sagen, wie ich zeige, dass sie auch ein Erzeugendensystem
> bilden?
Du mußt ja zeigen, daß Du für beliebige x,y,z den Vektor
[mm] \vektor{x\\y\\z} [/mm] als Linearkombination von [mm] v_1, v_2, v_3 [/mm] schreiben kannst, daß es also reelle zahlen [mm] \lambda_1, \lambda_2, \lambda_3 [/mm] gibt mit
[mm] \vektor{x\\y\\z}=\lambda_1v_1+\lambda_2v_2+\lambda_3v_3.
[/mm]
Dies lambdas mußt Du (heimlich) herausfinden, sie hängen natürlich von x,y,z ab.
Dann rechnest Du vor, daß es damit klappt.
Aber: wenn Du weißt, daß der [mm] \IR^3 [/mm] die Dimension 3 hat, der Dimensionsbegriff also bereits behandelt wurde, dann ist klar, daß jede Menge von 3 linear unabhängigen Vektoren eine Basis des [mm] \IR^3 [/mm] ist. "Erzeugendensystem" muß dann nicht extra gezeigt werden.
LG Angela
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