Basen Kern,Bild,Spalten/Zeilen < Abbildungen+Matrizen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | A:= [mm] \pmat{ 2 & 0 & -1 & 0 & -3\\ 0 & 1 & 1 & -1 & 1\\2 & 1 & 2 & 0 & 5\\ -4 & -1 & -3 & -1 & -8 } \in\IR^{4\times 5}
[/mm]
1. Bestimme eine Basis des Kernes und eine Basis des Bildes der durch A dargestellten Abbildung.
2. Für welche [mm] b\in\IR^4 [/mm] ist das lineare Gleichungssystem Ax=b lösbar? |
Hallo zusammen!
Ich lerne gerade für LA-Klausur und mir ist nicht alles ganz klar ...
Hoffentlich kann mir jemand sagen, ob meine Lösungen und Überlegungen richtig sind.
Zu 1. Basis des Kerns: [mm] \pmat{-1/2\\ -1\\ 1\\ 0\\0} [/mm] ?
Basis des Bildes:
Wenn ich A auf Zeilenstufenform bringe, zeigen die Stufenspalten, die mit einer 1 anfangen, welche der Spalten von A eine Basis des Bildes bilden.
Also nach dieser Überlegung sind es [mm] <\pmat{-2\\0\\2\\-4},\pmat{0\\1\\1\\-1},\pmat{0\\-1\\0\\-1},\pmat{-3\\1\\5\\-8}>
[/mm]
Soweit richtig?
Zeilenraum einer Matrix besteht aus den linear unabhängigen Zeilen ?
Spaltenraum dementsprechend aus den linear unabhängigen Spalten?
Frage: Ist der Spaltenraum das gleiche wie Basis des Bildes?
Zu 2. Dimension vom Spaltenraum = 4, Dimension vom Zeilenraum = 4
Folgt daraus, dass das Gleichungssystem für alle [mm] b\in\IR^4 [/mm] lösbar ist?
Wenn das richtig ist, was würde folgen, falls die Dimension vom Spaltenraum < 4 wäre ?
Vielen Dank im Voraus!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:39 Di 03.07.2007 | | Autor: | barsch |
Hi,
hast du auch folgende Matrix raus, wenn du Gauß anwendest (?):
[mm] \pmat{ 4 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & -3 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1}
[/mm]
> Zu 1. Basis des Kerns: $ [mm] \pmat{-1/2\\ -1\\ 1\\ 0\\0} [/mm] $ ?
Ich habe raus: [mm] Kern=span\{\pmat{1/2\\ -3\\ 1\\ -2\\0}\} [/mm]
> Also nach dieser Überlegung sind es $ [mm] <\pmat{-2\\0\\2\\-4},\pmat{0\\1\\1\\-1},\pmat{0\\-1\\0\\-1},\pmat{-3\\1\\5\\-8}> [/mm] $
Das habe ich auch.
MfG
barsch
> Zeilenraum einer Matrix besteht aus den linear unabhängigen
> Zeilen ?
> Spaltenraum dementsprechend aus den linear unabhängigen
> Spalten?
> Frage: Ist der Spaltenraum das gleiche wie Basis des
> Bildes?
>
> Zu 2. Dimension vom Spaltenraum = 4, Dimension vom
> Zeilenraum = 4
> Folgt daraus, dass das Gleichungssystem für alle [mm]b\in\IR^4[/mm]
> lösbar ist?
> Wenn das richtig ist, was würde folgen, falls die
> Dimension vom Spaltenraum < 4 wäre ?
![[keineahnung]](/images/smileys/keineahnung.gif "[keineahnung]")
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| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 20:11 Di 03.07.2007 | | Autor: | kateto178 |
Also bin weiter gekommen, Basis des Kerns = $ [mm] \pmat{-1/2\\ -1\\ 1\\ 0\\0} [/mm] $ ist richtig, hätte früher drauf kommen müssen. Wenn man A damit multipliziert kommt der 0-Vektor raus. So ist der Kern auch definiert ...
Jetzt suche ich die Antwort der restlichen Fragen ... Bin für jede Hilfe sehr dankbar!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:36 Di 03.07.2007 | | Autor: | barsch |
Hi,
> Also bin weiter gekommen, Basis des Kerns = $ [mm] \pmat{-\bruch{1}{2}\\ -1\\ 1\\ 0\\0} [/mm] $ ist richtig
leider nein!
> Wenn man A damit multipliziert kommt der 0-Vektor raus.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Setze doch einmal [mm] A*\pmat{-1/2\\ -1\\ 1\\ 0\\0}=\pmat{0\\ 0\\ 2\\ -4}
[/mm]
Aber [mm] A*\pmat{1/2\\ -3\\ 1\\ -2\\0}=0
[/mm]
MfG
barsch
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:06 Di 03.07.2007 | | Autor: | kateto178 |
Danke für die Mühe ...
barsch,
es ist richtig,was du meintest ... ich habe bei a11 statt mit 2 mit -2 gerechnet.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:23 Di 03.07.2007 | | Autor: | barsch |
Hi,
kein Problem 
Was meinst du, wie oft ich mich verrechne. Habe auch erst noch einmal geprüft, ob ich mich nicht doch verrechnet habe.
MfG
barsch
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:28 Di 03.07.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. Dim des Zeilen und des Spaltenraums sind immer gleich.
daraus kannst du nix schliessen. da die Basis des Bildes ganz [mm] \IR^4 [/mm] aufspannt (weil 4 dimensional) kriegst du natürlich auch jeden Vektor in [mm] \IR^4 [/mm] als bild. wenn du also das GS A*x=b meinst ist die Antwort ja.
eine Basis des Spaltenraums ist die Basis des Bildes. in dem Sinne ja zur 1. Frage.
Gruss leduart
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