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Forum "Lineare Algebra - Eigenwerte" - Basen bestimmen
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Basen bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:47 Mi 20.01.2016
Autor: Johnny1994

Aufgabe
[mm] A=\pmat{ 4 & 0 & 1 \\ -2 & 1 & 0 \\ -2 & 0 & 1 } [/mm]

a) Bestimmen Sie alle Eigenwerte von A.
b) Bestimmen Sie für jeden Eigenraum eine Basis.



Hallo Leute! Ich habe mal wieder ein Problem bei einer Aufgabe, die wahrscheinlich extrem simpel zu lösen ist, aber nicht drauf komme.

Die Matrix A

[mm] A=\pmat{ 4 & 0 & 1 \\ -2 & 1 & 0 \\ -2 & 0 & 1 } [/mm]

besitzt die EW (Eigenwerte) [mm] \lambda_{1}=1, \lambda_{2}=2 [/mm] und [mm] \lambda_{3}=3 [/mm]

zu dem EW [mm] \lambda_{1}=1 [/mm] gehört der EV (Eigenvektor)

[mm] x_{1}=\vektor{0 \\ \lambda \\ 0} [/mm]

zu dem EW [mm] \lambda_{2}=2 [/mm] gehört der EV

[mm] x_{2}=\vektor{-\bruch{1}{2}\lambda \\ \lambda \\ \lambda} [/mm]

zu dem EW [mm] \lambda_{3}=3 [/mm] gehört der EV

[mm] x_{2}=\vektor{-\lambda \\ \lambda \\ \lambda} [/mm]

=> Zu dem EW [mm] \lambda_{1}=1 [/mm] gehört der Eigenraum

[mm] E_{A}(1)=\begin{cases} \lambda * \vektor{0 \\ 1 \\ 0} \in \IR^{3}| \lambda \in \IR \end{cases} [/mm]

Zu dem EW [mm] \lambda_{2}=2 [/mm] gehört der Eigenraum

[mm] E_{A}(2)=\begin{cases} \lambda * \vektor{-\bruch{1}{2} \\ 1 \\ 1} \in \IR^{3}| \lambda \in \IR \end{cases} [/mm]

Zu dem EW [mm] \lambda_{3}=3 [/mm] gehört der Eigenraum

[mm] E_{A}(3)=\begin{cases} \lambda * \vektor{-1 \\ 1 \\ 1} \in \IR^{3}| \lambda \in \IR \end{cases} [/mm]

Wie bestimme ich nun für jeden Eigenraum eine Basis?

Wäre eine Basis zu [mm] E_{A}(2) ((\vektor{-\bruch{1}{2} \\ 1 \\ 1},\vektor{0 \\ 1 \\ 0}\vektor{-1 \\ 1 \\ 1})) [/mm]
LG Johnny

PS: Vielen Dank für eure Hilfe im Voraus!

        
Bezug
Basen bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:06 Mi 20.01.2016
Autor: angela.h.b.


> [mm]A=\pmat{ 4 & 0 & 1 \\ -2 & 1 & 0 \\ -2 & 0 & 1 }[/mm]
>  
> a) Bestimmen Sie alle Eigenwerte von A.
>  b) Bestimmen Sie für jeden Eigenraum eine Basis.
>  
> Hallo Leute! Ich habe mal wieder ein Problem bei einer
> Aufgabe, die wahrscheinlich extrem simpel zu lösen ist,
> aber nicht drauf komme.
>  
> Die Matrix A
>
> [mm]A=\pmat{ 4 & 0 & 1 \\ -2 & 1 & 0 \\ -2 & 0 & 1 }[/mm]
>  
> besitzt die EW (Eigenwerte) [mm]\lambda_{1}=1, \lambda_{2}=2[/mm]
> und [mm]\lambda_{3}=3[/mm]

Hallo,

hab' ich nicht nachgerechnet, glaub' ich einfach mal.

>  
> zu dem EW [mm]\lambda_{1}=1[/mm] gehört der EV (Eigenvektor)

Du meinst:

die Eigenvektoren zum Eigenwert [mm] \lambda_1=1 [/mm] sind von der Gestalt

> [mm]x_{1}=\vektor{0 \\ \lambda \\ 0}[/mm][mm] =\lambda\vektor{0\\1\\0} [/mm]

mit [mm] \lambda\in \IR\setminus\{0\}. [/mm]

Der zu [mm] \lambda_1 [/mm] gehörende Eigenraum ist

[mm] Eig_1(A)=\{\lambda*\vektor{0\\1\\0}\in\IR^3| \lambda\in \IR\}. [/mm]

Eine Basis dieses Eigenraumes ist [mm] \vektor{0\\1\\0}. [/mm]

LG Angela

>  
> zu dem EW [mm]\lambda_{2}=2[/mm] gehört der EV
>  
> [mm]x_{2}=\vektor{-\bruch{1}{2}\lambda \\ \lambda \\ \lambda}[/mm]
>  
> zu dem EW [mm]\lambda_{3}=3[/mm] gehört der EV
>  
> [mm]x_{2}=\vektor{-\lambda \\ \lambda \\ \lambda}[/mm]
>  
> => Zu dem EW [mm]\lambda_{1}=1[/mm] gehört der Eigenraum
>  
> [mm]E_{A}(1)=\begin{cases} \lambda * \vektor{0 \\ 1 \\ 0} \in \IR^{3}| \lambda \in \IR \end{cases}[/mm]
>
> Zu dem EW [mm]\lambda_{2}=2[/mm] gehört der Eigenraum
>
> [mm]E_{A}(2)=\begin{cases} \lambda * \vektor{-\bruch{1}{2} \\ 1 \\ 1} \in \IR^{3}| \lambda \in \IR \end{cases}[/mm]
>
> Zu dem EW [mm]\lambda_{3}=3[/mm] gehört der Eigenraum
>  
> [mm]E_{A}(3)=\begin{cases} \lambda * \vektor{-1 \\ 1 \\ 1} \in \IR^{3}| \lambda \in \IR \end{cases}[/mm]
>
> Wie bestimme ich nun für jeden Eigenraum eine Basis?
>  
> LG Johnny
>  
> PS: Vielen Dank für eure Hilfe im Voraus!


Bezug
                
Bezug
Basen bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:09 Mi 20.01.2016
Autor: Johnny1994


> Eine Basis dieses Eigenraumes ist [mm]\vektor{0\\1\\0}.[/mm]

Wäre das nicht ein Vektorraum? Muss eine Basis hier nicht aus mindestens 3 Vektoren bestehen?

Habe eine Hommage gefunden, die meine Frage (glaube ich) geklärt hat.

http://www.abi-mathe.de/buch/matrizen/eigenwert-und-eigenraum/

LG Johnny und vielen Dank für die Hilfe!

Bezug
                        
Bezug
Basen bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:16 Mi 20.01.2016
Autor: angela.h.b.


> > Eine Basis dieses Eigenraumes ist [mm]\vektor{0\\1\\0}.[/mm]
>  
> Wäre das nicht ein Vektorraum? Muss eine Basis hier nicht
> aus mindestens 3 Vektoren bestehen?

Hallo,

Du hast doch herausgefunden, daß in dem Eigenraum (welcher in der Tat ein VR ist, nämlich ein Unterraum des [mm] \IR^3) [/mm] alle Vektoren der Gestalt [mm] \lambda\vektor{0\1\\0} [/mm] sind.
Was ist eine Basis? Ein minimales Erzeugendensystem.
[mm] \vektor{0\1\\0} [/mm] erzeugt den Eigenraum - und noch kleiner geht's nicht.
Also: Basis.

LG Angela

>  
> Habe eine Hommage gefunden, die meine Frage (glaube ich)
> geklärt hat.
>  
> http://www.abi-mathe.de/buch/matrizen/eigenwert-und-eigenraum/
>  
> LG Johnny und vielen Dank für die Hilfe!


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