Basis des R^4 < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei U ein Unterraum des [mm]$ \IR^4$[/mm], definiert durch
[mm]$U:=<\vektor{1 \\ 2\\0\\3},\vektor{2\\3\\-1\\5},\vektor{0\\1\\1\\1}>$[/mm]
Bestimmen Sie eine Basis B von U und ergänzen Sie diese Basis zu einer Basis B´ des [mm]$\IR^4$[/mm] (Nachweis, dass B´ eine Basis ist!) |
Hallo,
der erste Teil der Aufgabe ist ja recht einfach man sieht recht schnell das der dritte Vektor aus den ersten beiden erzeugt werden kann und das die ersten beiden linear unabhängig voneinander sind. Also haben wir eine Basis B von U . Nun zur Ergänzung, die Musterlösung dieser Aufgabe ergänzt einfach mit e1 ([mm]$\vektor{1\\0\\0\\0}$[/mm]) und e2([mm]$\vektor{0\\1\\0\\0}$[/mm]) und beweist das dann das diese 4 Vektoren linear unabhängig sind.
Meine Frage ist jetzt, um eine Basis des [mm]$\IR^4$[/mm] zu erhalten, muss ich einfach nur 4 linear unabhängige Vektoren des [mm]$\IR^4$[/mm] finden? Erzeugen 4 linear unabhängige Vektoren des [mm]$\IR^4$[/mm] immer den gesamten [mm]$\IR^4$[/mm]? Denn ansonsten müsste ich dies ja noch nachweisen!?!?
Vielen dank schonmal
Marc
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:12 Mi 02.07.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Die Dimension eines Raumes ist doch genau durch die Maximalzahl linear unabh. Vektoren gegeben!
d.h. je 4 lin unabh. Vektoren spannen [mm] R^4 [/mm] auf.
Gruss leduart
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Hallo leduart, irgendwie schien mir das zu einfach aber es ist logisch.
Vielen dank
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:24 Mi 02.07.2008 | | Autor: | markyZ |
> Meine Frage ist jetzt, um eine Basis des [mm]$\IR^4$[/mm] zu
> erhalten, muss ich einfach nur 4 linear unabhängige
> Vektoren des [mm]$\IR^4$[/mm] finden? Erzeugen 4 linear unabhängige
> Vektoren des [mm]$\IR^4$[/mm] immer den gesamten [mm]$\IR^4$[/mm]?
Ja, das ist so.
Zum Veranschaulichen kannst du dir vielleicht klar machen, dass du mit 4 linear unabhaengigen Vektoren immer jeden der kanonischen Einheitsvektoren erzeugen kannst. Diese wiederum erzeugen offensichtlich den ganzen Raum. Ganz allgemein erzeugen n beliebige linear unabhaengige Basisvektoren in einem n-dimensionalen Vektorraum immer den ganzen Raum.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:25 Mi 02.07.2008 | | Autor: | markyZ |
hatte nicht gesehen, dass die Frage schon beantwortet war.
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