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| Aufgabe | [mm] v_1=\vektor{1 \\ 2 \\ -1 \\ 0}, v_2=\vektor{1 \\ 0 \\ -1 \\ 0}, v_3=\vektor{0 \\ -1 \\ 3 \\ 2}, v_4=\vektor{0 \\ 1 \\ 0 \\ 1}, v_5=\vektor{2 \\ 2 \\ -1 \\ 1}
[/mm]
sind Vektoren im [mm] \IR^4.
[/mm]
Bestimme die Basen von [mm] Lin(v_1,v_2,v_3)\cap Lin(v_4,v_5) [/mm] und [mm] Lin(v_1,v_2,v_3)+Lin(v_4,v_5) [/mm] |
okay. Für den Schnitt gilt:
[mm] \lambda_1*\vektor{1 \\ 2 \\ -1 \\ 0}+\lambda_2*\vektor{1 \\ 0 \\ -1 \\ 0}+\lambda_3*\vektor{0 \\ -1 \\ 3 \\ 2}=\mu_1*\vektor{0 \\ 1 \\ 0 \\ 1}+\mu_2*\vektor{2 \\ 2 \\ -1 \\ 1}
[/mm]
Ich stelle also ein lineares Gleichungssystem auf und bringe es in Zeilenstufenform:
[mm] \pmat{ 1 & 1 & 0 & 0 & -2 \\ 2 & 0 & -1 & -1 & -2 \\ -1 & -1 & 3 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & -1 & -1 }\pmat{0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 }
[/mm]
In Zeilenstufenform erhält man dann:
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 3 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 3 & 1 }\pmat{0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 }
[/mm]
[mm] \mu_2 [/mm] ist hier der freie Parameter. [mm] \mu_2=a, [/mm] dann ist [mm] \mu_2=-\bruch{a}{3}
[/mm]
Aber wie komme ich jetzt darauf, dass [mm] \vektor{6 \\ 5 \\ -3 \\ 2} [/mm] eine Basis des Schnittes ist?
Könnt ihr mir das nochmal erklären?
Wenn ich Basen von [mm] Lin(v_1,v_2,v_3)+Lin(v_4,v_5) [/mm] bestimmen will, dann gehe ich wieder genau so vor, indem ich alle Vektoren in ein Gleichungssystem packe und in Zeilenstufenform bringe.
Da erhalte ich das gleiche Gleichungssystem in Zeilenstufenform:
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 3 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 3 & 1 }\pmat{0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 }
[/mm]
Sind hier die Nicht-Null-Zeilen meine 4 Basisvektoren oder muss ich aus den gegeben vektoren welche auswählen? Da die Dimension 4 beträgt müssen es jedenfalls 4 Vektoren sein.
Über Erklärungen wäre ich sehr dankbar.
MfG
Mathegirl
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Hallo Mathegirl,
> [mm]v_1=\vektor{1 \\ 2 \\ -1 \\ 0}, v_2=\vektor{1 \\ 0 \\ -1 \\ 0}, v_3=\vektor{0 \\ -1 \\ 3 \\ 2}, v_4=\vektor{0 \\ 1 \\ 0 \\ 1}, v_5=\vektor{2 \\ 2 \\ -1 \\ 1}[/mm]
>
> sind Vektoren im [mm]\IR^4.[/mm]
>
> Bestimme die Basen von [mm]Lin(v_1,v_2,v_3)\cap Lin(v_4,v_5)[/mm]
> und [mm]Lin(v_1,v_2,v_3)+Lin(v_4,v_5)[/mm]
> okay. Für den Schnitt gilt:
>
> [mm]\lambda_1*\vektor{1 \\ 2 \\ -1 \\ 0}+\lambda_2*\vektor{1 \\ 0 \\ -1 \\ 0}+\lambda_3*\vektor{0 \\ -1 \\ 3 \\ 2}=\mu_1*\vektor{0 \\ 1 \\ 0 \\ 1}+\mu_2*\vektor{2 \\ 2 \\ -1 \\ 1}[/mm]
>
> Ich stelle also ein lineares Gleichungssystem auf und
> bringe es in Zeilenstufenform:
>
> [mm]\pmat{ 1 & 1 & 0 & 0 & -2 \\ 2 & 0 & -1 & -1 & -2 \\ -1 & -1 & 3 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & -1 & -1 }\pmat{0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 }[/mm]
>
> In Zeilenstufenform erhält man dann:
>
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 3 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 3 & 1 }\pmat{0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 }[/mm]
>
> [mm]\mu_2[/mm] ist hier der freie Parameter. [mm]\mu_2=a,[/mm] dann ist
> [mm]\mu_2=-\bruch{a}{3}[/mm]
>
> Aber wie komme ich jetzt darauf, dass [mm]\vektor{6 \\ 5 \\ -3 \\ 2}[/mm]
> eine Basis des Schnittes ist?
>
Aus dem Gleichungssystem folgt die Darstellung von [mm]v_{5}[/mm] als
Linearkombination von [mm]v_{i}, \ i=1,2,3,4[/mm]
Es ist demnach
[mm]v_{5}=\lambda_{1}*v_{1}+\lambda_{2}*v_{2}+\lambda_{3}*v_{5}+\mu_{1}*v_{4}[/mm]
Um jetzt denjenigen Vektor zu berechnen, der im Schnitt liegt, ist
[mm]\lambda_{1}*v_{1}+\lambda_{2}*v_{2}+\lambda_{3}*v_{3}[/mm]
oder
[mm]\mu_{1}*v_{4}+\mu_{2}*v_{5}[/mm]
, wobei [mm]\mu_{2}=1[/mm] zu setzen ist, zu berechnen.
> Könnt ihr mir das nochmal erklären?
>
>
> Wenn ich Basen von [mm]Lin(v_1,v_2,v_3)+Lin(v_4,v_5)[/mm] bestimmen
> will, dann gehe ich wieder genau so vor, indem ich alle
> Vektoren in ein Gleichungssystem packe und in
> Zeilenstufenform bringe.
>
> Da erhalte ich das gleiche Gleichungssystem in
> Zeilenstufenform:
>
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 3 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 3 & 1 }\pmat{0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 }[/mm]
>
> Sind hier die Nicht-Null-Zeilen meine 4 Basisvektoren oder
> muss ich aus den gegeben vektoren welche auswählen? Da
> die Dimension 4 beträgt müssen es jedenfalls 4 Vektoren
> sein.
>
Hier sind die ersten 4 Spalten die Basisvektoren,
das sich die 5. Spalte als Linearkombination der
ersten 4 Spalten darstellen läßt.
> Über Erklärungen wäre ich sehr dankbar.
>
>
> MfG
> Mathegirl
Gruss
MathePower
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Danke fürs Erklären! Aber warum muss ich 4 Spalten und nicht Zeilen für die Basis wählen?
aber nochmal zum Schnitt:
Ich komme trotzdem nicht auf den angebenen Basisvektor aus der Musterlösung. Und warum muss ich [mm] \mu_2=1 [/mm] setzen?
Kann mir das vielleicht jemand an einem Beispiel oder direkt an meinem Beispiel vorrechnen? Ich habe es irgendwie noch nicht ganz verstanden mit der Linearkombination.
MfG
Mathegirl
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Hallo Mathegirl,
> Danke fürs Erklären! Aber warum muss ich 4 Spalten und
> nicht Zeilen für die Basis wählen?
>
Weil die Vektoren aus dem [mm]\IR^{4}[/mm] sind.
>
> aber nochmal zum Schnitt:
>
> Ich komme trotzdem nicht auf den angebenen Basisvektor aus
> der Musterlösung. Und warum muss ich [mm]\mu_2=1[/mm] setzen?
>
Da [mm]\mu_{2}[/mm] der freie Parameter ist,
setzt man den gewöhnlich gleich 1.
Den Vektor den Du erhälst, ist ein Vielfaches des Vektors,
der in der Lösung steht.
> Kann mir das vielleicht jemand an einem Beispiel oder
> direkt an meinem Beispiel vorrechnen? Ich habe es irgendwie
> noch nicht ganz verstanden mit der Linearkombination.
>
> MfG
> Mathegirl
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:27 Di 13.03.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Mathegirl,
du schreibst in der Aufgabenstellung von "die" Basen von ... und ... . Das klingt so, als gäbe es nur je eine Basis. Tatsächlich haben Vektorräume i.A. zahlreiche Basen! Uns wurde daher im ersten Semester eingebläut, nie von "der" Basis eines Vektorraumes zu sprechen.
Viele Grüße
Tobias
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