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Hallo!!Ich hätte eine Frage zu dieser Aufgabe.Ich habe schon den größten Teil gerechnet.bekomme aber etwas nicht heraus:
Also: Es sei [mm] V={x=(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},x_{5}) \in Q^{5}} [/mm] wobei
gilt: [mm] x{2}+2x_{3}+3x_{4},+4x_{5}=0
[/mm]
Weiters sei v=(2,2,-2,2,1) und w=(0,0,2,0,-1).
a.) Zeige dass v und w in V sind. Das ist klar und einfach zu rechnen->einfach einsetzen und überprüfen ob die Bedingungen stimmen.Antwort lautet JA!!
b.) Zeige dass die Familie (v,w) linear unabhängig sind.Das stimmt und da habe ich auch keine Problem.
c.) Ergänze (v,w) zu einer Basis von V
Da ist mein Problem.Also wir haben folgendes aufgeschrieben als Definition aufgeschrieben:
Wenn V....Vektorraum mit der Fanilie v als Basis und U eine Untervektorraum( bei uns jetzt V) mit der Familie w als Erzeugendensystem und sind [mm] u_{1}.....u_{q} [/mm] linear unabhängige Vektoren von V dann gilt folgendes:
u=v*C C..Matrix
w=v*D D..Matrix Mein Problem ist,dass ich keine Basis v von [mm] Q^{5} [/mm] habe und auch kein Erzeugendensystem von V!!!
Wie komme ich auf die fehlenden größen?Mit freundlichen Grüßen Daniel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:05 Di 07.12.2004 | | Autor: | Hexe |
Also erstmal zur Dimension von V, die ist 4. Denn [mm] x_{5} [/mm] ist ja von [mm] x_{2-4} [/mm] abhängig. Also brauchst du jetzt noch 2 beliebige Vektoren aus (ja ist dein [mm] Q^5 [/mm] eigentlich [mm] \IQ^5 [/mm] ?? Ich nehms mal an) [mm] \IQ^5 [/mm] die unabhängig von v und w sind und die Gleichung erfüllen. Für den einen würd ich gleich mal (1,0,0,0,0) vorschlagen und für den anderen z.B. (0,-3,0,1,0). Damit hast du dann deine Basis, denn im 4dim. Unterraum ist jede Teilmenge vierer lin. unabh. Vektoren eine Basis.
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