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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:16 Fr 13.07.2007 | | Autor: | Zerwas |
| Aufgabe | Die Matrix [mm] A_B [/mm] beschreibt eine Bilinearform in der Basis B. Geben sie die Matrix bzgl. der Standardbasis an.
[mm] A_B=\pmat{0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 }; B=(\pmat{1\\0\\0\\0}, \pmat{1\\1\\0\\0}, \pmat{1\\1\\1\\0}, \pmat{1\\1\\1\\1}) [/mm] |
Ich habe mir überlegt:
Sei [mm] A_E [/mm] die Bilinearform bzgl. der Standardbasis (E), dann lässt sich diese Bilden indem man S:=Basiswechselmatrix von B nach E und [mm] A_E=S^T*A_B*S
[/mm]
[mm] S^{-1} [/mm] also die Basiswechselmatrix von E nach B lässt sich leicht aufstellen, indem man die Basis B als Matrix schreibt und erhält dann:
[mm] S^{-1}:=\pmat{1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1}
[/mm]
Wenn man [mm] S^{-1^{-1}} [/mm] bildet erhält man: [mm] S^{-1^{-1}}=S=\pmat{1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 1}
[/mm]
Und kann dann auch [mm] S^T=\pmat{1 & 0 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 1}
[/mm]
Und damit [mm] A_E [/mm] = [mm] S^T*A_B*S [/mm] = [mm] \pmat{1 & 0 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 1}*\pmat{0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 }*\pmat{1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 1} [/mm] = [mm] \pmat{ 0 & 1 & -1 & 0 \\ 1 & -1 & 1 & -1 \\ -1 & 2 & -2 & 2 \\ 0 & -1 & 2 & -2}
[/mm]
Stimmt das so? Nachgerechnet habe ich mit einem Matheprogramm also sollten die Rechnungen stimmen ist nur noch die Frage ob die Matritzen korrekt aufgestellt sind und das so überhaupt machbar ist.
Gruß Zerwas
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> [mm]S^{-1}[/mm] also die Basiswechselmatrix von E nach B lässt sich
> leicht aufstellen, indem man die Basis B als Matrix
> schreibt und erhält dann:
> [mm]S^{-1}:=\pmat{1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1}[/mm]
Hallo,
dies ist die Matrix, welche Dir aus Koordinaten bzgl. B solche bzgl. E macht, also die Basiswechselmatrix von B nach E.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:52 Fr 13.07.2007 | | Autor: | Zerwas |
Okay klar ... ich stelle ja die neue Darstellungsmatrix auf indem ich den Basiswechesel zu der alten Basis B (also S) mit der alten Darstellungsmatrix [mm] (A_B) [/mm] und dann noch mit dem Basiswechsel zur neuen Basis E multipliziere.
Oder?
Gruß Zerwas
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> Okay klar ... ich stelle ja die neue Darstellungsmatrix auf
> indem ich den Basiswechesel zu der alten Basis B (also S)
> mit der alten Darstellungsmatrix [mm](A_B)[/mm] und dann noch mit
> dem Basiswechsel zur neuen Basis E multipliziere.
> Oder?
Hallo,
ja. Man muß es halt in der richtigen Reihenfolge tun.
[mm] A_{E\to E}=T_{B\to E}A_{B\to B}T_{E\to B}
[/mm]
Gruß v. Angela
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