Belegung, oder, Folgerung < Aussagenlogik < Logik < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:47 Mi 06.04.2016 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Aussagenlogik:(http://www.logic.univie.ac.at/~muellem3/aussagenlogik.pdf) Seite 2
Definition: Eine Funktion $ [mm] \beta: [/mm] $ Var $ [mm] \rightarrow \{0,1\} [/mm] $ heißt aussagenlogische Belegung
Definition: Wir definieren eine Relation $ [mm] \models [/mm] $ durch folgende Festsetzung. Nämlich, $ [mm] \models [/mm] $ ist die Relation zwischen belegungen und Formeln, so daß für alle Belegungen $ [mm] \beta [/mm] $ und alle Formeln $ [mm] \psi, \chi [/mm] $ und alle Variablen X gelte
(a) $ [mm] \beta \models [/mm] $ X genau dann wenn $ [mm] \beta(X)=1 [/mm] $
(b) $ [mm] \beta \models \neg \psi [/mm] $ genau dann wenn $ [mm] \beta \not\models \psi [/mm] $
(c) $ [mm] \beta \models (\psi \wedge \chi) [/mm] $ genau dann wenn $ [mm] \beta \models \psi [/mm] $ oder $ [mm] \beta \models \chi [/mm] $
ÜE:
Für die Formeln [mm] \phi, \psi [/mm] schreiben wir [mm] (\phi \vee \psi) [/mm] für [mm] \neg(\neg \phi \wedge \neg \psi), [/mm] und [mm] (\phi \rightarrow \psi) [/mm] für [mm] \neg(\phi \wedge \neg \psi).
[/mm]
Zeigen Sie dann gilt für alle belegungen [mm] \beta:
[/mm]
[mm] \beta \models (\phi \vee \psi) [/mm] gdw [mm] \beta \models \phi [/mm] oder [mm] \beta \models \psi
[/mm]
sowie [mm] \beta \models (\phi \rightarrow \psi) [/mm] gdw wenn [mm] \beta \models \phi [/mm] so [mm] \beta \models \psi [/mm] |
Hallo,
Ich bin unsicher wie man das zeigt. Eigentlich sollte man ja nur straight forward die Definition anwenden?
[mm] \beta \models (\phi \vee \psi)
[/mm]
[mm] \iff \beta \models \neg(\neg \phi \wedge \neg \psi)
[/mm]
[mm] \iff \beta \not\models (\neg \phi \wedge \neg \psi)
[/mm]
Und nun weiß ich nicht wie ich weiter vorgehen soll wegen der Negation des [mm] \models [/mm] Symbols. Das steht so ja nicht in der Definition bei der Konjugation.
Dann hab ich versucht mit der rekursive Definition in meinen anderen Post zu arbeiten:
[mm] R(\beta, \neg(\neg \phi \wedge \neg \psi))=1 [/mm] für [mm] R(\beta, (\neg \phi\wedge \neg \psi))=0
[/mm]
[mm] R(\beta,( \neg \phi\wedge \neg \psi))=0 [/mm] für [mm] R(\beta, \neg \phi)=0 [/mm] oder [mm] R(\beta, \neg \psi)=0
[/mm]
[mm] R(\beta, \neg \phi)=0 [/mm] oder [mm] R(\beta, \neg \psi)=0 [/mm] für [mm] R(\beta, \phi)=1 [/mm] oder [mm] R(\beta, \psi)=1 [/mm]
Das bedeutet [mm] \beta \models \phi [/mm] oder [mm] \beta \models \psi
[/mm]
[mm] R(\beta,\neg(\phi \wedge \neg \psi))=1 [/mm] für [mm] R(\beta,(\phi \wedge \neg \psi))=0
[/mm]
[mm] R(\beta,(\phi \wedge \neg \psi))=0 [/mm] für [mm] R(\beta,\phi)=0 [/mm] oder [mm] R(\beta,\neg \psi)=0 [/mm]
[mm] R(\beta,\phi)=0 [/mm] oder [mm] R(\beta,\neg \psi)=0 [/mm] für [mm] R(\beta,\neg \phi)=1 [/mm] oder [mm] R(\beta, \psi)=1
[/mm]
Das bedeutet [mm] \beta \models \neg \phi [/mm] oder [mm] \beta \models \psi.
[/mm]
Über Hilfe würde ich mich freuen!
LG,
sissi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:59 Mi 06.04.2016 | | Autor: | hippias |
Die Verwendung des Zeichens [mm] $\not \models$ [/mm] in der Definition halte ich für ungeschickt. Daher kann ich Deine Probleme verstehen. Es wäre besser zu sagen, dass [mm] $\beta\models \neg \psi$ [/mm] genau dann, wenn nicht [mm] $\beta\models \psi$. [/mm] Damit, und mit den üblichen Regeln der Logik, sollte der Beweis wieder "straight forward" sein.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:34 Mi 06.04.2016 | | Autor: | sissile |
Danke für den Post. Trotzdem werde ich das mal so weiterverwenden wie in dem Skriptum.
Mein Versuch:
[mm] 1)\beta \models \neg(\neg \phi \wedge \neg \psi) \iff \beta \not\models (\neg \phi \wedge \neg \psi)
[/mm]
[mm] \iff \beta \not\models \neg \phi [/mm] oder [mm] \beta \not\models \neg \psi
[/mm]
[mm] \iff \beta \models \phi [/mm] oder [mm] \beta \models \psi
[/mm]
2)
[mm] \beta \models (\phi \rightarrow \psi) \iff \beta \models \neg(\phi \wedge \neg \psi)
[/mm]
[mm] \iff \beta \not\models (\phi \wedge \neg \psi)
[/mm]
[mm] \iff \beta \not\models \phi [/mm] oder [mm] \beta \not\models \neg \psi
[/mm]
[mm] \iff \beta \not\models \phi [/mm] oder [mm] \beta \models \psi
[/mm]
Frage1:
Wenn man zeigen möchte das eine Formel [mm] \epsilon [/mm] allgemeingültig ist, muss ja [mm] \beta \models \epsilon [/mm] für jede Belegung [mm] \beta [/mm] gelten.
Nun wäre 1) bei der Belegung [mm] \beta \not\models \phi [/mm] und [mm] \beta \not\models \psi [/mm] die Formel nicht gültig, also ist die Formeln nicht allgemeingültig.
Eine solche Formel wäre nur allgemeingültig wenn für die 4 Möglichkeiten:
-) [mm] \beta \models \phi [/mm] und [mm] \beta \not\models \psi
[/mm]
-) [mm] \beta \models \phi [/mm] und [mm] \beta \models \psi
[/mm]
-) [mm] \beta \models \psi [/mm] und [mm] \beta \not\models \phi
[/mm]
-) [mm] \beta \models \phi [/mm] und [mm] \beta \models \psi
[/mm]
die Formel gilt.
Ist das richtig?
Frage2:
Bei 2) erhalte ich $ [mm] \beta \not\models \phi [/mm] $ oder $ [mm] \beta \models \psi [/mm] $. Im Skript steht "wenn [mm] \beta \models \phi, [/mm] so [mm] \beta \models \psi [/mm] "
Es ist klar wenn [mm] \beta \models \phi [/mm] muss - damit die Formel gültig ist [mm] \beta \models \psi [/mm] sein, da ja [mm] \beta \not\models \phi. [/mm] Muss man das mehr begründen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:05 Do 07.04.2016 | | Autor: | sissile |
> Ich denke, dass Du damit die Aufgabe richtig gelöst hast. Beenklich finde ich aber den Gebrauch des Symbols $ [mm] \iff [/mm] $ in der Metasprache; manche Leute vermeiden dies in der Logik.
Okay, also schreibe ich anstelle [mm] \iff [/mm] einfach den Ausdruck genau dann wenn?
Zu Frage 1 ich hab die Aufgabe mal seperat gestellt - da wird klar was ich genau fragen wollte!
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[mm]\beta \models \phi[/mm] und [mm]\beta \not\models \psi[/mm]
