Berechne das Integral < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:11 Mo 14.10.2019 | | Autor: | bondi |
| Aufgabe | | [mm] \integral_{t=1}^{4}{ \bruch{sin( \wurzel{t})}{ \wurzel{t}} dt} [/mm] |
Hallo,
um die Wurzel los zu werden, substituiere ich [mm] t = x^2 [/mm]
Somit ist [mm] \bruch{dt}{dx} = 2x [/mm] [mm] dt=2x dx [/mm]
Daraus ergibt sich: [mm] \integral_{t=1}^{4}{ \bruch{sin(x)}{x}2x dx [/mm]
Somit:
[mm] 2 \integral_{t=1}^{4}{ sin(x) dx [/mm]
Jetzt sagt symbolab, dass die neue obere Grenzen 2, die neue untere Grenze 1 ist.
An der Stelle bin ich für einen Tipp dankbar.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:28 Mo 14.10.2019 | | Autor: | chrisno |
Hallo,
Du kannst Dir das Substituieren so vorstellen, dass Du eine neue, verzerrte "x-Achse" anlegst.
Vorher stand die t-Achse da, mit 0, 1, 2, 3, 4, ... in regelmäßigen Abständen.
Nun steht da x, und zwar so, dass [mm] $x^2 [/mm] = t$ gilt. Da es auf der t-Achse um den Abschnitt von 1 bis 4 ging, muss es nun auf der x-Achse entsprechend von 0 bis 2 gehen, da 2 quadriert 4 ergibt.
Mathematischer formuliert:
Bei der Substitution müssen auch die Grenzen substituiert werden.
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> [mm]2 \integral_{t=1}^{4}{ sin(x) dx[/mm]
>
Da darf auch nicht mehr "t=" stehen, sondern
[mm]2 \integral_{x=1}^{x=2}{ sin(x) dx[/mm]
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Du möchtest ein Integral [mm] $\int_a^b [/mm] f(t)dt$ nach $t$ auswerten.
Durch die Substitution [mm] $\varphi:= \varphi(t) [/mm] = [mm] \sqrt{t}$ [/mm] erhältst du ein Integral [mm] $$\int_{\varphi(a)}^{\varphi(b)}f(\varphi)\varphi'd\varphi$$ [/mm] das nach der neuen Variable [mm] $\varphi$ [/mm] auszuwerten ist.
Wenn die alten Grenzen $a = 1$ und $b=4$ waren, so ist mit [mm] $\varphi(t) [/mm] = [mm] \sqrt{t}$ [/mm] insbesondere [mm] $\varphi(1) [/mm] = [mm] \sqrt{1} [/mm] = 1$ und $ [mm] \varphi(4) [/mm] = [mm] \sqrt{4} [/mm] = 2$
LG,
ChopSuey
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