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Forum "Integralrechnung" - Berechne die Ableitung
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Berechne die Ableitung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:47 Di 01.04.2008
Autor: puldi

Guten Nachmittag,

[mm] \integral_{1}^{b}{(x³-x) dx} [/mm]

Die Ableitung wäre dann ja:

b³-b

Wann kann ich das so machen? immer wenn die untere Grenze eine feste Zahl ist und die obere Grenze eien Variabel?

[mm] \integral_{0}^{\pi}{sin³(x) dx} [/mm]

Warum ist das Integral 0? Immer wenn da zwei feste Zahlen stehen als obere bzw. untere Grneze?

Danke für eure Unterstützung!

        
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Berechne die Ableitung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:55 Di 01.04.2008
Autor: Teufel

Hi!

Du musst einfach das Integral auflösen und ableiten.

[mm] (\integral_{1}^{b}{(x³-x) dx})'=([\bruch{1}{4}x^4-\bruch{1}{2}x^2]^b_1)'=(\bruch{1}{4}b^4-\bruch{1}{2}b^2-\bruch{1}{4}+\bruch{1}{2})'=b³-b [/mm]

Es wäre also richtig, zumindest, wenn du nach b ableiten sollst.

Und das 2. Integral ist eine konstante Zahl. Du kannst das Integral ja auch Maßzahl der Fläche unter f(x)=sin³x von 0 bis [mm] \pi [/mm] ansehen (die übrigens [mm] \bruch{4}{3}FE [/mm] beträgt). Und wenn du eine konstante Zahl ableitest, erhälst du immer 0.

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Berechne die Ableitung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:01 Di 01.04.2008
Autor: Jedec

Also wenn $ [mm] \integral_{1}^{b}{(x³-x) dx} [/mm] $ die Aufgabenstellung ist, musst du garnichts ableiten, sondern aufleiten...

Die Lösung würde dann so aussehen:

$ [mm] \integral_{1}^{b}{(x³-x) dx} [/mm] = [mm] (\bruch{1}{4}b^4-\bruch{1}{2}b^2)-(\bruch{1}{4}1^4-\bruch{1}{2}1^2) [/mm] = [mm] \bruch{1}{4}b^4-\bruch{1}{2}b^2+\bruch{1}{2} [/mm] $

Du solltest dir erstmal klar machen, was der Ausdruck [mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx} [/mm] bedeutet:

Die Fläche unter der Kurve von $ f(x) $ von a bis b.

Du hast sicher eine Formelsammlung, da sind auf jeden Fall Bilder dazu drinnen, die dir das veranschaulichen.

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Berechne die Ableitung: Hauptsatz der Integralrechnung
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:08 Di 01.04.2008
Autor: Loddar

Hallo puldi!


Es gilt ja der Hauptsatz der Integralrechnung mit:
[mm] $$\integral_a^b{f(x) \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \left[ \ F(x) \ \right]_a^b [/mm] \ = \ F(b)-F(a)$$

Zudem gilt: $F'(x) \ = \ f(x)$ . Daraus folgt dann auch folgende Gleichheit:

[mm] $$\left( \ \integral_a^x{f(t) \ dt} \ \right)' [/mm] \ = \  [mm] \left[ \ F(x)-F(a) \ \right]' [/mm] \ = \ F'(x)-F'(a) \ = \ f(x)-0 \ = \ f(x)$$

Gruß
Loddar


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Berechne die Ableitung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:10 Di 01.04.2008
Autor: puldi

kann ich da einfach, wenn ich ableite =f(x) schreiben oder muss ich die Schritte vorher auch noch hinschreiben?

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Berechne die Ableitung: kommt drauf an
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:17 Di 01.04.2008
Autor: Loddar

Hallo puldi!


Das kommt drauf an, ob ihr den oben genannten Satz bereits mehrfach angewandt habt. Oder ob es hier gerade darum geht ...


Gruß
Loddar


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Berechne die Ableitung: Funktion ansehen
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:20 Di 01.04.2008
Autor: Loddar

Hallo puldi!



> [mm]\integral_{0}^{\pi}{sin³(x) dx}[/mm]
>  
> Warum ist das Integral 0? Immer wenn da zwei feste Zahlen
> stehen als obere bzw. untere Grneze?

Das hat nichts damit zu tun, dass hier zwei feste Integrationgrenzen vorliegen. Aber sieh Dir mal die Funktion (bzw. deren Kurvenverlauf) im Intervall $0 \ [mm] \le [/mm] \ x \ [mm] \le [/mm] \ [mm] \pi$ [/mm] an. Was fällt Dir auf?


Gruß
Loddar


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