Berechnen Sie (kompl. Zahlen) < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:25 Sa 18.11.2006 | | Autor: | Bredi85 |
| Aufgabe | Berechnen Sie:
[mm] \bruch{3^{300001}*4^{600002}}{(6-\wurzel{12}*i)^{600002}} [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich habe diese Aufgabe zu lösen und folgenden Ansatz verwendet.
Ich habe zuerst ^300001 ausgeklammert:
( [mm] \bruch{48}{(6-\wurzel{12}*i)^{2}} )^{300001}
[/mm]
Dann habe ich den Nenner nach 2. Bin. Formel umgeformt:
[mm] (\bruch{48}{(24-12\wurzel{12}i)} )^{300001}
[/mm]
Als nächstes habe im Nenner 12 ausgeklammert und mit Zähler gekürzt:
[mm] (\bruch{4}{(2-\wurzel{12}i)} )^{300001}
[/mm]
Nun im Nenner 2 Ausgeklammert und wieder gekürzt:
[mm] (\bruch{2}{(1-\wurzel{3}i)} )^{300001}
[/mm]
Doch jetzt weiss ich nicht mehr weiter. Haben die komplexen Zahlen gerade neu gelernt. Wie mache ich weiter, damit ich das irgendwie ausrechnen kann?
Wäre echt toll, wenn mir jemand weiter helfen kann
Schöne Grüße
Bredi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:59 So 19.11.2006 | | Autor: | ullim |
Hi,
> [mm](\bruch{2}{(1-\wurzel{3}i)} )^{300001}[/mm]
>
>
Jetzt kann man mit dem konjugiert komplexen erweitern, das ergibt dann [mm] (\br{1+i\wurzel{3}}{2})^{300001}
[/mm]
Nun kann man das Ganze auf die Form [mm] r*e^{i\phi} [/mm] bringen. Für r ergibt sich r=1 und für [mm] \phi [/mm] ergibt sich [mm] \phi=60 [/mm] Grad entspricht [mm] \br{\pi}{3}
[/mm]
Also hat die koplexe Zahl die Form [mm] e^{i*300001*\br{\pi}{3}}. [/mm] Nun ist [mm] e^{i\phi} [/mm] periodisch zu [mm] 2\pi
[/mm]
[mm] 300001*\br{\pi}{3} [/mm] mod [mm] 2\pi [/mm] ist gleich [mm] \br{\pi}{3}, [/mm] also
[mm] e^{i*300001*\br{\pi}{3}}=e^{i*\br{\pi}{3}}=cos(\br{\pi}{3})+i*sin(\br{\pi}{3})=\br{1}{2}(1+i\wurzel{3})
[/mm]
> Doch jetzt weiss ich nicht mehr weiter. Haben die komplexen
> Zahlen gerade neu gelernt. Wie mache ich weiter, damit ich
> das irgendwie ausrechnen kann?
>
> Wäre echt toll, wenn mir jemand weiter helfen kann
>
> Schöne Grüße
>
> Bredi
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